Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida em pedaços diferentes dependendo do valor de . O objetivo é desenhar o gráfico dessa função e encontrar a sua Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil na matemática e engenharia para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções definidas por partes e aplicar as propriedades da Transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é o gráfico de f(t) = -dfrac32 t, & se 0 <= t < 4 dfrac32 t - 12, & se 4 <= t < 8 0, & se t >= 8 . A função está definida assim:
Isso significa que de 0 a 4, a função é uma linha reta decrescente; de 4 a 8, é uma linha reta crescente; e depois de 8, ela é zero. Vamos esboçar isso:
Para : A função começa em com e vai até .
Para : Começa em com e vai até com .
Para : A função é zero.
Passo 3
Agora que temos o gráfico, vamos calcular a Transformada de Laplace de f(t) = -dfrac32 t cdot u(t) + ( dfrac32 t - 12 ) [ u(t - 4) - u(t - 8) ] . Para funções definidas por partes, usamos a função de degrau de Heaviside, , que “liga” a função a partir de .
Vamos reescrever usando :
Isso significa que a primeira parte da função está ativa desde , e a segunda parte está ativa entre e .
Passo 4
Vamos separar as partes da função para facilitar a aplicação da Transformada de Laplace:
Primeira parte:
Segunda parte:
Terceira parte:
Passo 5
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace em cada parte separadamente. Lembrando que:
L -dfrac32 t cdot u(t) = -dfrac32 cdot dfrac1s^2
L dfrac32 t cdot u(t - 4) = dfrac32 cdot e^-4 s cdot dfrac1s^2
Vamos lá:
Transformada da primeira parte:
L -12 cdot u(t - 4) = -12 cdot dfrace^-4 ss
Transformada da segunda parte:
L -dfrac32 t cdot u(t - 8) = -dfrac32 cdot e^-8 s cdot dfrac1s^2