Faça um esboço do gráfico e determine a transformada de Laplace da função
f(t)= -32 t, & se 0 <= t<4 32 t-12, & se 4 <= t<8 0, & se t >= 8
a F(s)=-32 1s^2-12 e^-4 ss+3 e^-4 ss^2-32 e^-8 ss^2.
f F(s)=-32 1s^2-12 e^-4 ss+32 e^-4 ss^2-32 e^-8 ss^2.
b F(s)=-32 1s^2-12 e^-4 ss-32 e^-8 ss^2.
g F(s)=-32 1s^2-6 e^-4 ss+32 e^-4 ss^2-32 e^-8 ss^2.
c F(s)=-32 1s^2-6 e^-4 ss+3 e^-4 ss^2-32 e^-8 ss^2.
square F(s)=-32 1s^2+3 e^-4 ss^2-32 e^-8 ss^2.
d F(s)=-32 1s^2-6 e^-4 ss-32 e^-8 ss^2.
i) F(s)=-32 1s^2+12 e^-4 ss^2-32 e^-8 ss^2.
e F(s)=-32 1s^2+32 e^-4 ss^2-32 e^-8 ss^2.
j) F(s)=-32 1s^2-3 e^-4 ss-32 e^-8 ss^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida em pedaços diferentes dependendo do valor de . O objetivo é desenhar o gráfico dessa função e encontrar a sua Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil na matemática e engenharia para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções definidas por partes e aplicar as propriedades da Transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o gráfico de f(t) = -dfrac32 t, & se 0 <= t < 4 dfrac32 t - 12, & se 4 <= t < 8 0, & se t >= 8 . A função está definida assim:
Isso significa que de 0 a 4, a função é uma linha reta decrescente; de 4 a 8, é uma linha reta crescente; e depois de 8, ela é zero. Vamos esboçar isso:
  1. Para : A função começa em com e vai até .
  2. Para : Começa em com e vai até com .
  3. Para : A função é zero.

Passo 3

Agora que temos o gráfico, vamos calcular a Transformada de Laplace de f(t) = -dfrac32 t cdot u(t) + ( dfrac32 t - 12 ) [ u(t - 4) - u(t - 8) ] . Para funções definidas por partes, usamos a função de degrau de Heaviside, , que “liga” a função a partir de .
Vamos reescrever usando :
Isso significa que a primeira parte da função está ativa desde , e a segunda parte está ativa entre e .

Passo 4

Vamos separar as partes da função para facilitar a aplicação da Transformada de Laplace:
  1. Primeira parte:
  2. Segunda parte:
  3. Terceira parte:

Passo 5

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace em cada parte separadamente. Lembrando que:
  • L -dfrac32 t cdot u(t) = -dfrac32 cdot dfrac1s^2
  • L dfrac32 t cdot u(t - 4) = dfrac32 cdot e^-4 s cdot dfrac1s^2
Vamos lá:
  1. Transformada da primeira parte:
L -12 cdot u(t - 4) = -12 cdot dfrace^-4 ss
  1. Transformada da segunda parte:
L -dfrac32 t cdot u(t - 8) = -dfrac32 cdot e^-8 s cdot dfrac1s^2
L 12 cdot u(t - 8) = 12 cdot dfrace^-8 ss
  1. Transformada da terceira parte:

Passo 6

Agora, vamos somar todas as partes transformadas:
F(s) = -dfrac32 cdot dfrac1s^2 + dfrac32 cdot dfrace^-4 ss^2 - 12 cdot dfrace^-4 ss - dfrac32 cdot dfrace^-8 ss^2 + 12 cdot dfrace^-8 ss

Passo 7

Podemos simplificar a expressão agrupando os termos semelhantes:
F(s) = -dfrac32 cdot dfrac1s^2 - 12 cdot dfrace^-4 ss + dfrac32 cdot dfrace^-4 ss^2 - dfrac32 cdot dfrace^-8 ss^2 + 12 cdot dfrace^-8 ss

Resposta

Após simplificar, a Transformada de Laplace da função F(s) = -dfrac32 cdot dfrac1s^2 - 12 cdot dfrace^-4 ss + dfrac32 cdot dfrace^-4 ss^2 - dfrac32 cdot dfrace^-8 ss^2 + 12 cdot dfrace^-8 ss é:

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