Faça um esboço do gráfico e determine a transformada de Laplace da função
a .
f .
b . .
c . .
d .
i) .
e .
j) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida em pedaços diferentes dependendo do valor de . O objetivo é desenhar o gráfico dessa função e encontrar a sua Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil na matemática e engenharia para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções definidas por partes e aplicar as propriedades da Transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é o gráfico de . A função está definida assim:
Isso significa que de 0 a 4, a função é uma linha reta decrescente; de 4 a 8, é uma linha reta crescente; e depois de 8, ela é zero. Vamos esboçar isso:
Para : A função começa em com e vai até .
Para : Começa em com e vai até com .
Para : A função é zero.
Passo 3
Agora que temos o gráfico, vamos calcular a Transformada de Laplace de . Para funções definidas por partes, usamos a função de degrau de Heaviside, , que “liga” a função a partir de .
Vamos reescrever usando :
Isso significa que a primeira parte da função está ativa desde , e a segunda parte está ativa entre e .
Passo 4
Vamos separar as partes da função para facilitar a aplicação da Transformada de Laplace:
Primeira parte:
Segunda parte:
Terceira parte:
Passo 5
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace em cada parte separadamente. Lembrando que:
Vamos lá:
Transformada da primeira parte:
Transformada da segunda parte:
Transformada da terceira parte:
Passo 6
Agora, vamos somar todas as partes transformadas:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão agrupando os termos semelhantes:
Resposta
Após simplificar, a Transformada de Laplace da função é: