Faça um esboço do gráfico e determine a transformada de Laplace da função
a .
f .
b .
.
c .
.
d .
i) .
e .
j) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida em pedaços diferentes dependendo do valor de . O objetivo é desenhar o gráfico dessa função e encontrar a sua Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil na matemática e engenharia para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções definidas por partes e aplicar as propriedades da Transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o gráfico de . A função está definida assim:
Isso significa que de 0 a 4, a função é uma linha reta decrescente; de 4 a 8, é uma linha reta crescente; e depois de 8, ela é zero. Vamos esboçar isso:
  1. Para : A função começa em com e vai até .
  2. Para : Começa em com e vai até com .
  3. Para : A função é zero.

Passo 3

Agora que temos o gráfico, vamos calcular a Transformada de Laplace de . Para funções definidas por partes, usamos a função de degrau de Heaviside, , que “liga” a função a partir de .
Vamos reescrever usando :
Isso significa que a primeira parte da função está ativa desde , e a segunda parte está ativa entre e .

Passo 4

Vamos separar as partes da função para facilitar a aplicação da Transformada de Laplace:
  1. Primeira parte:
  2. Segunda parte:
  3. Terceira parte:

Passo 5

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace em cada parte separadamente. Lembrando que:
Vamos lá:
  1. Transformada da primeira parte:
  1. Transformada da segunda parte:
  1. Transformada da terceira parte:

Passo 6

Agora, vamos somar todas as partes transformadas:

Passo 7

Podemos simplificar a expressão agrupando os termos semelhantes:

Resposta

Após simplificar, a Transformada de Laplace da função é:

Exercícios relacionados

Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. .
Use coordenadas polares para expressar , onde é a região do segundo quadrante compreendida entre os círculos e , como integrais iteradas. Resolva a integral iterada.
Considere o seguinte PVI
Assinale a alternativa que corresponde à transformada de Laplace da solução do PVI.
a
e)
b
f
c
g

h
Use a transformada de Laplace para determinar a solução da equação integral
para , fixo.