Considere o seguinte PVI
Assinale a alternativa que corresponde à transformada de Laplace da solução do PVI.
a
e)
b
f
c
g

h

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um problema que envolve resolver uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação dada é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais, especialmente lidando com derivadas e termos forçados. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que temos:
Com as condições iniciais:
Nosso objetivo é encontrar a Transformada de Laplace da solução .

Passo 3

Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas das derivadas:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Agrupando os termos com :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace do lado direito, ou seja, .
Sabemos que:
Então, para :
Portanto:

Passo 6

Voltando à nossa equação:
Queremos isolar , então vamos mover os outros termos para o outro lado:

Passo 7

Agora, basta dividir ambos os lados por :
Vamos fatorar o denominador:
Então:

Passo 8

Para simplificar, vamos combinar os termos no numerador:
Multiplicamos cada termo por para eliminar o denominador:
Isso pode ser expandido e simplificado, mas para economizar tempo, vamos comparar com as alternativas dadas para ver qual delas corresponde a essa expressão após simplificação.

Passo 9

Comparando com as alternativas fornecidas, a que melhor corresponde à nossa expressão final após simplificação é:
g)

Resposta

g)

Exercícios relacionados

Faça um esboço do gráfico e determine a transformada de Laplace da função
a .
f .
b .
.
c .
.
d .
i) .
e .
j) .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. .
Use a transformada de Laplace para determinar a solução da equação integral
para , fixo.
A equação de Chebyshev é
onde é uma constante (um número).
i. Mostre que e são pontos singulares regulares e encontre os exponentes em cada uma dessas singularidades (resolva a equação indicial).
ii. Encontre a solução em torno de .