Assinale a alternativa que corresponde à transformada de Laplace da solução do PVI.
a
e)
b
f
c
g
h
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um problema que envolve resolver uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação dada é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais, especialmente lidando com derivadas e termos forçados. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que temos:
Com as condições iniciais:
Nosso objetivo é encontrar a Transformada de Laplace da solução .
Passo 3
Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas das derivadas:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Agrupando os termos com :
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace do lado direito, ou seja, .
Sabemos que:
Então, para :
Portanto:
Passo 6
Voltando à nossa equação:
Queremos isolar , então vamos mover os outros termos para o outro lado:
Passo 7
Agora, basta dividir ambos os lados por :
Vamos fatorar o denominador:
Então:
Passo 8
Para simplificar, vamos combinar os termos no numerador:
Multiplicamos cada termo por para eliminar o denominador:
Isso pode ser expandido e simplificado, mas para economizar tempo, vamos comparar com as alternativas dadas para ver qual delas corresponde a essa expressão após simplificação.
Passo 9
Comparando com as alternativas fornecidas, a que melhor corresponde à nossa expressão final após simplificação é: