Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
integral1^2 integral0^raiz2 x-x^2 1(x^2+y^2)^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral duplo, que envolve mudança para coordenadas polares. A ideia é calcular a integral
integral1^2 integral0^raiz2 x - x^2 1(x^2+y^2)^2 , dy , dx
O conteúdo envolve integração em coordenadas cartesianas e a mudança para coordenadas polares para facilitar o cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter integrais duplas de cartesianas para polares e usar as fórmulas adequadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos y^2 = 2x - x^2 implies x^2 + y^2 = 2x implies (x - 1)^2 + y^2 = 1 variando de 1 a 2 e, para cada , varia de 0 até . Vamos visualizar isso: a curva é parte de um círculo.
Vamos reescrever a equação :
Isso representa um círculo de raio 1 com centro em (1, 0). Portanto, nossa região de integração é uma parte desse círculo entre e .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos theta
y = r sin theta
dx , dy = r , dr , dtheta
Além disso, a expressão integral dupla 1(r^2)^2 cdot r , dr , dtheta = integral dupla 1r^3 , dr , dtheta se torna . Então, nossa integral original, em coordenadas polares, fica:

Passo 4

Precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como a região é parte de um círculo de raio 1 centrado em (1, 0), vamos parametrizar os limites:
  • O raio 0 <= theta <= pi2 varia de 0 a 2 \cos \theta (porque o círculo está deslocado para o lado positivo de 0 <= r <= 2 cos theta ).
  • O ângulo varia de 0 a para cobrir o primeiro quadrante onde está entre 1 e 2.
Então, os limites são:

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral:
integral0^pi2 integral0^2 cos theta 1r^3 cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral0^2 cos theta 1r^2 , dr , dtheta
Simplificando:
integral0^pi2 ( integral0^2 cos theta 1r^2 , dr ) dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a integral 1r^2 , dr = -1r + C :
[ -1r ]0^2 cos theta = -12 cos theta - ( -infty )
Aplicando os limites de 0 a -12 cos theta :
Aqui percebemos que há uma singularidade em , mas na prática, a contribuição dessa parte tende a zero devido à simetria e ao comportamento da função. Portanto, consideramos apenas a parte finita:

Passo 7

Agora, nossa integral reduzida é:
integral0^pi2 -12 cos theta , dtheta = -12 integral0^pi2 sec theta , dtheta
Sabemos que a integral de -12 [ ln |sec theta + tan theta| ]0^pi2 é . Então:

Passo 8

Vamos aplicar os limites:
Para sec ( pi2 ) = 1cos ( pi2 ) = infty :
tan ( pi2 ) = infty
ln (infty) = infty
sec 0 = 1
Para tan 0 = 0 :
ln (1 + 0) = 0
-12 ( infty - 0 ) = -infty
Portanto:
Isso sugere que a integral diverge, ou seja, não tem um valor finito.

Resposta

A integral diverge para menos infinito, ou seja, não possui um valor finito.

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