Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral duplo, que envolve mudança para coordenadas polares. A ideia é calcular a integral
O conteúdo envolve integração em coordenadas cartesianas e a mudança para coordenadas polares para facilitar o cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter integrais duplas de cartesianas para polares e usar as fórmulas adequadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos
variando de 1 a 2 e, para cada
,
varia de 0 até
. Vamos visualizar isso: a curva
é parte de um círculo.
Vamos reescrever a equação
:
Isso representa um círculo de raio 1 com centro em (1, 0). Portanto, nossa região de integração é uma parte desse círculo entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Além disso, a expressão
se torna
. Então, nossa integral original, em coordenadas polares, fica:
Passo 4
Precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como a região é parte de um círculo de raio 1 centrado em (1, 0), vamos parametrizar os limites:
- O raio
varia de 0 a 2 \cos \theta (porque o círculo está deslocado para o lado positivo de ). - O ângulo
varia de 0 a para cobrir o primeiro quadrante onde está entre 1 e 2.
Então, os limites são:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Aplicando os limites de 0 a
:
Aqui percebemos que há uma singularidade em
, mas na prática, a contribuição dessa parte tende a zero devido à simetria e ao comportamento da função. Portanto, consideramos apenas a parte finita:
Passo 7
Agora, nossa integral reduzida é:
Sabemos que a integral de
é
. Então:
Passo 8
Vamos aplicar os limites:
Para
:
Para
:
Portanto:
Isso sugere que a integral diverge, ou seja, não tem um valor finito.
Resposta
A integral diverge para menos infinito, ou seja, não possui um valor finito.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Acima do plano limitado pelo paraboloide
e pelo cilindro
.
Acima do plano
Identifique se a série é absolutamente convergente e se ela é convergente.
Determine a área da superfície: A parte do plano
com
e
.