Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral duplo, que envolve mudança para coordenadas polares. A ideia é calcular a integral
O conteúdo envolve integração em coordenadas cartesianas e a mudança para coordenadas polares para facilitar o cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter integrais duplas de cartesianas para polares e usar as fórmulas adequadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 1 a 2 e, para cada , varia de 0 até . Vamos visualizar isso: a curva é parte de um círculo.
Vamos reescrever a equação :
Isso representa um círculo de raio 1 com centro em (1, 0). Portanto, nossa região de integração é uma parte desse círculo entre e .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Além disso, a expressão se torna . Então, nossa integral original, em coordenadas polares, fica:

Passo 4

Precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como a região é parte de um círculo de raio 1 centrado em (1, 0), vamos parametrizar os limites:
  • O raio varia de 0 a 2 \cos \theta (porque o círculo está deslocado para o lado positivo de ).
  • O ângulo varia de 0 a para cobrir o primeiro quadrante onde está entre 1 e 2.
Então, os limites são:

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral:
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Aplicando os limites de 0 a :
Aqui percebemos que há uma singularidade em , mas na prática, a contribuição dessa parte tende a zero devido à simetria e ao comportamento da função. Portanto, consideramos apenas a parte finita:

Passo 7

Agora, nossa integral reduzida é:
Sabemos que a integral de é . Então:

Passo 8

Vamos aplicar os limites:
Para :
Para :
Portanto:
Isso sugere que a integral diverge, ou seja, não tem um valor finito.

Resposta

A integral diverge para menos infinito, ou seja, não possui um valor finito.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Acima do plano limitado pelo paraboloide e pelo cilindro .
Identifique se a série é absolutamente convergente e se ela é convergente.
Determine a área da superfície: A parte do plano com e .