Calcule as seguintes integrais: integral sec ^5 x tg^3 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral . Esse problema envolve funções trigonométricas, especificamente o secante ( ) e a tangente ( ). Para resolver integrais desse tipo, vamos precisar usar técnicas de integração por substituição e conhecer as identidades trigonométricas que relacionam e .

Passo 2

Vamos começar observando as potências de integral sec^5x tan^3x , dx = integral sec^4x cdot sec x tan^3x , dx e = integral sec^4x cdot tan^2x cdot sec x tan x , dx na integral. Uma estratégia útil é separar uma das e uma para facilitar a substituição.
Reescrevemos a integral da seguinte forma:
Agora, separamos uma e uma :

Passo 3

Agora, usamos uma identidade trigonométrica importante: = integral sec^4x cdot (sec^2x - 1) cdot sec x tan x , dx . Substituímos isso na integral:
= integral (sec^6x - sec^4x) cdot sec x tan x , dx
Simplificando:

Passo 4

Agora, faremos uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar dudx = sec x tan x implies du = sec x tan x , dx . Então, a derivada de em relação a é:
Isso significa que .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
integral (sec^6x - sec^4x) cdot du = integral (u^6 - u^4) , du
Agora, podemos integrar termo a termo:
= integral u^6 , du - integral u^4 , du

Passo 6

Vamos integrar cada termo:
integral u^6 , du = u^77 + C
integral u^4 , du = u^55 + C
Portanto:
= u^77 - u^55 + C

Passo 7

Agora, substituímos = sec^7x7 - sec^5x5 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral sec^7x7 - sec^5x5 + C é igual a:

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