Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral
. Esse problema envolve funções trigonométricas, especificamente o secante (
) e a tangente (
). Para resolver integrais desse tipo, vamos precisar usar técnicas de integração por substituição e conhecer as identidades trigonométricas que relacionam
e
.
Passo 2
Vamos começar observando as potências de
e
na integral. Uma estratégia útil é separar uma das
e uma
para facilitar a substituição.
Reescrevemos a integral da seguinte forma:
Agora, separamos uma
e uma
:
Passo 3
Agora, usamos uma identidade trigonométrica importante:
. Substituímos isso na integral:
Simplificando:
Passo 4
Agora, faremos uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que
.
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Agora, podemos integrar termo a termo:
Passo 6
Vamos integrar cada termo:
Portanto:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Acima do plano limitado pelo paraboloide
e pelo cilindro
.
Acima do plano
Calcule as seguintes integrais:
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
Identifique se a série é absolutamente convergente e se ela é convergente.