Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral . Esse problema envolve funções trigonométricas, especificamente o secante ( ) e a tangente ( ). Para resolver integrais desse tipo, vamos precisar usar técnicas de integração por substituição e conhecer as identidades trigonométricas que relacionam e .

Passo 2

Vamos começar observando as potências de e na integral. Uma estratégia útil é separar uma das e uma para facilitar a substituição.
Reescrevemos a integral da seguinte forma:
Agora, separamos uma e uma :

Passo 3

Agora, usamos uma identidade trigonométrica importante: . Substituímos isso na integral:
Simplificando:

Passo 4

Agora, faremos uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar . Então, a derivada de em relação a é:
Isso significa que .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
Agora, podemos integrar termo a termo:

Passo 6

Vamos integrar cada termo:
Portanto:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a:

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Calcule as seguintes integrais:
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
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