Identifique se a série é absolutamente convergente e se ela é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série e precisa descobrir se ela é absolutamente convergente e se ela é convergente. Para isso, vamos usar conceitos de testes de convergência de séries, como o teste da série alternada e o teste da convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente considera a série com os valores absolutos dos termos, ou seja:

Passo 3

Agora, para saber se essa nova série converge, vamos comparar com uma série que a gente já conhece. Observa que:
Isso é porque, para valores grandes de , o domina o termo no denominador.

Passo 4

A série é conhecida como a série harmônica e sabemos que ela diverge. Como a nossa série comparada se comporta de forma semelhante, a série também diverge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos diverge, isso significa que a série original não é absolutamente convergente. Mas calma, ainda vamos verificar se ela é convergente mesmo assim.

Passo 6

Para isso, usamos o teste da série alternada. Esse teste diz que uma série da forma converge se:
  1. Os termos são decrescentes, ou seja, .
  2. O limite .
Aqui, nosso é .

Passo 7

Vamos verificar as condições:
  1. Decrescência: é decrescente porque, à medida que aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador.
  2. Limite:

Passo 8

Como as duas condições do teste da série alternada são atendidas, concluímos que a série original converge.

Resposta

A série é convergente, mas não é absolutamente convergente.

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