Identifique se a série é absolutamente convergente e se ela é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série e precisa descobrir se ela é absolutamente convergente e se ela é convergente. Para isso, vamos usar conceitos de testes de convergência de séries, como o teste da série alternada e o teste da convergência absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente considera a série com os valores absolutos dos termos, ou seja:
Passo 3
Agora, para saber se essa nova série sumn=1^+infty nn^2+1 converge, vamos comparar com uma série que a gente já conhece. Observa que:
nn^2+1 approx 1n quando n to infty
Isso é porque, para valores grandes de n, o n^2 domina o termo 1 no denominador.
Passo 4
A série sumn=1^+infty 1n é conhecida como a série harmônica e sabemos que ela diverge. Como a nossa série comparada se comporta de forma semelhante, a série sumn=1^+infty nn^2+1 também diverge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos diverge, isso significa que a série original não é absolutamente convergente. Mas calma, ainda vamos verificar se ela é convergente mesmo assim.
Passo 6
Para isso, usamos o teste da série alternada. Esse teste diz que uma série da forma sum (-1)^n bn converge se:
Os termos bn são decrescentes, ou seja, bn+1 <= bn.
O limite limn to infty bn = 0.
Aqui, nosso bn é nn^2+1.
Passo 7
Vamos verificar as condições:
Decrescência: nn^2+1 é decrescente porque, à medida que n aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador.
Limite:
limn to infty nn^2+1 = limn to infty 1n + 1n = 0
Passo 8
Como as duas condições do teste da série alternada são atendidas, concluímos que a série original converge.
Resposta
A série sumn=1^+infty(-1)^n nn^2+1 é convergente, mas não é absolutamente convergente.