Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Acima do plano
limitado pelo paraboloide
e pelo cilindro
.
Acima do plano
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido que está acima do plano
, limitado por um paraboloide dado por
e por um cilindro definido por
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para lidar com formas circulares e cilindros como este.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações que temos para coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares:
E, também:
Passo 3
Vamos começar convertendo o cilindro
para coordenadas polares. Substituindo:
Dividindo os dois lados por
(com
):
Isso nos dá o raio em termos de
, que vai nos ajudar a definir os limites de integração.
Passo 4
Agora, vamos converter o paraboloide
para coordenadas polares. Como
, fica:
Então, a altura do sólido em cada ponto é
.
Passo 5
Para encontrar o volume, usamos a integral dupla em coordenadas polares:
Substituindo
:
Passo 6
Precisamos determinar os limites de integração. Para
, vai de 0 até
(do cilindro), e para
, como o cilindro
descreve um círculo completo quando
vai de 0 a
.
Passo 7
Vamos escrever a integral com os limites:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Passo 9
Integrando termo a termo:
Avaliando nos limites:
- Para
: - Para
:
Passo 10
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
Determine a área da região
do plano
definida por
Calcule as seguintes integrais:
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.