Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Acima do plano limitado pelo paraboloide e pelo cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido que está acima do plano , limitado por um paraboloide dado por e por um cilindro definido por . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para lidar com formas circulares e cilindros como este.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações que temos para coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares:
E, também:

Passo 3

Vamos começar convertendo o cilindro para coordenadas polares. Substituindo:
Dividindo os dois lados por (com ):
Isso nos dá o raio em termos de , que vai nos ajudar a definir os limites de integração.

Passo 4

Agora, vamos converter o paraboloide para coordenadas polares. Como , fica:
Então, a altura do sólido em cada ponto é .

Passo 5

Para encontrar o volume, usamos a integral dupla em coordenadas polares:
Substituindo :

Passo 6

Precisamos determinar os limites de integração. Para , vai de 0 até (do cilindro), e para , como o cilindro descreve um círculo completo quando vai de 0 a .

Passo 7

Vamos escrever a integral com os limites:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, a integral fica:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Então:

Passo 9

Integrando termo a termo:
Avaliando nos limites:
  • Para :
  • Para :

Passo 10

Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Calcule as seguintes integrais:
Determine a área da região do plano definida por
Calcule as seguintes integrais:
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.