Determine a área da superfície: A parte do plano com e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a área de uma parte de um plano descrito pela equação , onde os parâmetros variam de 0 a 1 e de 0 a 3. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre superfícies parametrizadas e cálculo de área. Precisamos entender como parametrizar a superfície e calcular o determinante para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície. A equação dada é da forma , onde é um ponto no plano, e e são vetores que delineiam o plano. Essa parametrização nos ajuda a descrever cada ponto da superfície usando os parâmetros e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície em relação a e . Para isso, derivamos em relação a cada parâmetro:
Esses vetores representam as direções de mudança da superfície quando variamos e .

Passo 4

O próximo passo é calcular o produto vetorial desses vetores tangentes. O produto vetorial nos dá um vetor normal à superfície, e a magnitude desse vetor é usada no cálculo da área.
Calculando o determinante:

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante para encontrar o elemento de área:
Esse valor representa a área infinitesimal multiplicada pelos incrementos de e .

Passo 6

Finalmente, para encontrar a área total da superfície, integramos a magnitude do produto vetorial sobre os limites dados para e :
Á
Calculando as integrais:
Então:
Á

Resposta

A área da superfície é unidades².

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