Calcule a integral dada ; onde é limitado pelos planos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla , onde a região está limitada pelos planos , , e . Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e aplicar a integração iterada passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . Os planos , e são os planos coordenados que formam o primeiro octante no espaço tridimensional. O plano corta esse octante, formando um tetraedro. Queremos calcular a integral de sobre esse tetraedro.
Passo 3
Vamos escolher a ordem de integração. Vou optar por integrar primeiro em relação a , depois em e por último em . Assim, precisamos determinar os limites para cada variável:
Para , ele varia de até (obtido rearranjando a equação do plano).
Para , ele varia de até (quando ).
Para , ele varia de até .
Passo 4
Agora, montamos a integral iterada seguindo esses limites:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a :
Passo 6
Em seguida, integramos o resultado em relação a y:
integral0^1 - x x (1 - x - y) , dy = x integral0^1 - x (1 - x - y) , dy
Vamos resolver a integral dentro:
integral (1 - x - y) , dy = (1 - x) y - 12 y^2 |0^1 - x = (1 - x)(1 - x) - 12 (1 - x)^2 = 12 (1 - x)^2
Multiplicando por x:
x cdot 12 (1 - x)^2 = x (1 - x)^22
Passo 7
Por fim, integramos em relação a x:
integral0^1 x (1 - x)^22 , dx = 12 integral0^1 x (1 - x)^2 , dx