Calcule a integral dada
integral triplaV x d V; onde V é limitado pelos planos x=0 ; y=0 ; z=0 ; e x+y+z=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla integral triplaV x , dV, onde a região V está limitada pelos planos x=0, y=0, z=0 e x+y+z=1. Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e aplicar a integração iterada passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região V. Os planos x=0, y=0 e z=0 são os planos coordenados que formam o primeiro octante no espaço tridimensional. O plano x+y+z=1 corta esse octante, formando um tetraedro. Queremos calcular a integral de x sobre esse tetraedro.

Passo 3

Vamos escolher a ordem de integração. Vou optar por integrar primeiro em relação a z, depois em y e por último em x. Assim, precisamos determinar os limites para cada variável:
  • Para z, ele varia de 0 até 1 - x - y (obtido rearranjando a equação do plano).
  • Para y, ele varia de 0 até 1 - x (quando z=0).
  • Para x, ele varia de 0 até 1.

Passo 4

Agora, montamos a integral iterada seguindo esses limites:
integral triplaV x , dV = integral0^1 integral0^1 - x integral0^1 - x - y x , dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^1 - x - y x , dz = x cdot z |0^1 - x - y = x (1 - x - y)

Passo 6

Em seguida, integramos o resultado em relação a y:
integral0^1 - x x (1 - x - y) , dy = x integral0^1 - x (1 - x - y) , dy
Vamos resolver a integral dentro:
integral (1 - x - y) , dy = (1 - x) y - 12 y^2 |0^1 - x = (1 - x)(1 - x) - 12 (1 - x)^2 = 12 (1 - x)^2
Multiplicando por x:
x cdot 12 (1 - x)^2 = x (1 - x)^22

Passo 7

Por fim, integramos em relação a x:
integral0^1 x (1 - x)^22 , dx = 12 integral0^1 x (1 - x)^2 , dx
Vamos expandir (1 - x)^2:
(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2
Então:
12 integral0^1 x (1 - 2x + x^2) , dx = 12 integral0^1 (x - 2x^2 + x^3) , dx
Integrando termo a termo:
12 ( 12 x^2 - 23 x^3 + 14 x^4 ) |0^1 = 12 ( 12 - 23 + 14 )
Calculando os valores:
12 ( 612 - 812 + 312 ) = 12 ( 112 ) = 124

Resposta

O valor da integral integral triplaV x , dV é 124.

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