Calcule a integral dada
; onde é limitado pelos planos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla , onde a região está limitada pelos planos , , e . Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e aplicar a integração iterada passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Os planos , e são os planos coordenados que formam o primeiro octante no espaço tridimensional. O plano corta esse octante, formando um tetraedro. Queremos calcular a integral de sobre esse tetraedro.

Passo 3

Vamos escolher a ordem de integração. Vou optar por integrar primeiro em relação a , depois em e por último em . Assim, precisamos determinar os limites para cada variável:
  • Para , ele varia de até (obtido rearranjando a equação do plano).
  • Para , ele varia de até (quando ).
  • Para , ele varia de até .

Passo 4

Agora, montamos a integral iterada seguindo esses limites:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Em seguida, integramos o resultado em relação a :
Vamos resolver a integral dentro:
Multiplicando por :

Passo 7

Por fim, integramos em relação a :
Vamos expandir :
Então:
Integrando termo a termo:
Calculando os valores:

Resposta

O valor da integral é .

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; onde é limitado abaixo pelo cone e acima pela esfera