Determine o volume do sólido acima do parabolóide
e abaixo do plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está acima do parabolóide
e abaixo do plano
. Isso envolve cálculo de integrais, especialmente em coordenadas polares porque a figura tem simetria circular. Vamos precisar usar integrais duplas e mudar para coordenadas polares para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde o parabolóide
e o plano
se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Isso representa um círculo com raio 2 no plano
. Esse é o limite que vamos usar para configurar nossa integral.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares porque o limite é um círculo. Lembrando que em coordenadas polares,
e
, e a área diferencial
vira
. A equação do parabolóide fica
.
Passo 4
O volume que queremos é a diferença entre o plano e o parabolóide. Então, a altura em cada ponto é
. Agora, configuramos a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Depois, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Calcule a integral dada
; onde
é limitado pelos planos
Resolver a equação diferencial ordinária
aplicando o método de Frobenius.
Utilize coordenadas esféricas para calcular a seguinte integral:
; onde
é limitado abaixo pelo cone
e acima pela esfera
Simplifique as expressões: