Determine o volume do sólido acima do parabolóide e abaixo do plano

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está acima do parabolóide e abaixo do plano . Isso envolve cálculo de integrais, especialmente em coordenadas polares porque a figura tem simetria circular. Vamos precisar usar integrais duplas e mudar para coordenadas polares para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde o parabolóide e o plano se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Isso representa um círculo com raio 2 no plano . Esse é o limite que vamos usar para configurar nossa integral.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares porque o limite é um círculo. Lembrando que em coordenadas polares, e , e a área diferencial vira . A equação do parabolóide fica .

Passo 4

O volume que queremos é a diferença entre o plano e o parabolóide. Então, a altura em cada ponto é . Agora, configuramos a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a :
Depois, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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; onde é limitado pelos planos
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aplicando o método de Frobenius.
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; onde é limitado abaixo pelo cone e acima pela esfera
Simplifique as expressões: