Resolver a equação diferencial ordinária
aplicando o método de Frobenius.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária usando o método de Frobenius. A equação que temos é:
O método de Frobenius é útil quando a equação tem um ponto singular regular, e a gente busca uma solução em série de potências. Vamos precisar assumir uma solução da forma
e encontrar os coeficientes
e o expoente
.
Passo 2
Primeiro, a gente identifica o ponto onde vamos expandir a solução. Nesse caso, vamos considerar
como o ponto de expansão.
Vamos assumir que a solução tem a forma:
onde
é um número que vamos determinar e
são os coeficientes a serem encontrados.
Passo 3
Agora, calculamos as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo as derivadas:
Passo 5
Simplificando os termos:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 6
Agora, juntamos todos os termos:
Vamos rearranjar os índices para que todas as somas tenham
:
Para os termos com
, fazemos a mudança de índice
, então
.
Assim:
Agora, renomeamos
de volta para
:
Passo 7
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero.
Primeiro, consideramos o termo de menor potência, que ocorre quando
:
Fatorando
:
Como
(para uma solução não trivial), temos:
Esse é o expoente indicial.
Passo 8
Agora, para
, igualamos os coeficientes a zero:
Para
:
Substituindo
:
Simplificando:
Continuando a simplificação:
Portanto, a relação de recorrência é:
Passo 9
Vamos calcular alguns coeficientes para obter a solução:
Começamos com
(que pode ser arbitrário, geralmente definido como 1 para simplicidade):
Para
:
Mas
não existe, então
.
Para
:
Para
:
Continuando esse processo, vemos que apenas os coeficientes de índices pares serão não nulos.
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial usando o método de Frobenius é:
Dependendo do contexto, essa série pode ser reconhecida como relacionada a funções especiais, mas para nosso propósito, a solução em série está definida da forma acima.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das seguintes funções:
.
Calcule a integral dupla:
Calcule a integral dada
; onde
é limitado pelos planos
Determine o volume do sólido acima do parabolóide
e abaixo do plano