Resolver a equação diferencial ordinária
aplicando o método de Frobenius.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária usando o método de Frobenius. A equação que temos é:
O método de Frobenius é útil quando a equação tem um ponto singular regular, e a gente busca uma solução em série de potências. Vamos precisar assumir uma solução da forma e encontrar os coeficientes e o expoente .

Passo 2

Primeiro, a gente identifica o ponto onde vamos expandir a solução. Nesse caso, vamos considerar como o ponto de expansão.
Vamos assumir que a solução tem a forma:
onde é um número que vamos determinar e são os coeficientes a serem encontrados.

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial original:
Substituindo as derivadas:

Passo 5

Simplificando os termos:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Passo 6

Agora, juntamos todos os termos:
Vamos rearranjar os índices para que todas as somas tenham :
Para os termos com , fazemos a mudança de índice , então .
Assim:
Agora, renomeamos de volta para :

Passo 7

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.
Primeiro, consideramos o termo de menor potência, que ocorre quando :
Fatorando :
Como (para uma solução não trivial), temos:
Esse é o expoente indicial.

Passo 8

Agora, para , igualamos os coeficientes a zero:
Para :
Substituindo :
Simplificando:
Continuando a simplificação:
Portanto, a relação de recorrência é:

Passo 9

Vamos calcular alguns coeficientes para obter a solução:
Começamos com (que pode ser arbitrário, geralmente definido como 1 para simplicidade):
Para :
Mas não existe, então .
Para :
Para :
Continuando esse processo, vemos que apenas os coeficientes de índices pares serão não nulos.

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial usando o método de Frobenius é:
Dependendo do contexto, essa série pode ser reconhecida como relacionada a funções especiais, mas para nosso propósito, a solução em série está definida da forma acima.

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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é
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