Esboce o gráfico das seguintes funções: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que esboçar o gráfico da função . Aqui, estamos lidando com uma função racional, que é basicamente um polinômio dividido por outro polinômio. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma divisão polinomial, encontrar interceptos, identificar assimptotas e analisar o comportamento da função para desenhar o gráfico certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função fazendo a divisão polinomial do numerador pelo denominador. Isso vai ajudar a entender melhor a função.
Dividindo por :
  1. Divide o primeiro termo do numerador pelo primeiro termo do denominador: .
  2. Multiplica por : .
  3. Subtrai esse resultado do numerador: .
  4. Repete o processo: .
  5. Multiplica por : .
  6. Subtrai novamente: .
Então, a divisão resulta em sem resto. Portanto:

Passo 3

Agora que simplificamos, a função é uma parábola. Vamos identificar os interceptos:
  • Intercepto com o eixo y: ocorre quando .
    Então, o ponto é .
  • Intercepto com o eixo x: ocorre quando .
    Não existe solução real, então não há intercepto com o eixo x.

Passo 4

Vamos identificar as assimptotas da função. Como é uma função polinomial de segundo grau, ela não possui assimptotas horizontais ou oblíquas. Originalmente, a função dada tinha uma assimptota vertical em , mas após simplificar a função, essa assimptota desaparece, indicando que é um ponto removível (ou seja, um buraco no gráfico).

Passo 5

Analisando o comportamento da função para e :
  • Conforme cresce positivamente ou negativamente, domina, e tende ao infinito.
  • Isso confirma que a parábola abre para cima.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • É uma parábola com vértice no ponto mínimo.
  • Intercepta o eixo y em .
  • Não intercepta o eixo x.
  • Tem um ponto removível em , mas como simplificamos, não afeta a parábola principal.

Resposta

O gráfico de é uma parábola que intercepta o eixo y no ponto , não possui interceptos com o eixo x e abre para cima.

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