Esboce o gráfico das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que esboçar o gráfico da função
. Aqui, estamos lidando com uma função racional, que é basicamente um polinômio dividido por outro polinômio. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma divisão polinomial, encontrar interceptos, identificar assimptotas e analisar o comportamento da função para desenhar o gráfico certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
fazendo a divisão polinomial do numerador pelo denominador. Isso vai ajudar a entender melhor a função.
Dividindo
por
:
- Divide o primeiro termo do numerador pelo primeiro termo do denominador:
. - Multiplica
por : . - Subtrai esse resultado do numerador:
. - Repete o processo:
. - Multiplica
por : . - Subtrai novamente:
.
Então, a divisão resulta em
sem resto. Portanto:
Passo 3
Agora que simplificamos, a função
é uma parábola. Vamos identificar os interceptos:
-
Intercepto com o eixo y: ocorre quando
. Então, o ponto é. -
Intercepto com o eixo x: ocorre quando
. Não existe solução real, então não há intercepto com o eixo x.
Passo 4
Vamos identificar as assimptotas da função. Como
é uma função polinomial de segundo grau, ela não possui assimptotas horizontais ou oblíquas. Originalmente, a função dada tinha uma assimptota vertical em
, mas após simplificar a função, essa assimptota desaparece, indicando que
é um ponto removível (ou seja, um buraco no gráfico).
Passo 5
Analisando o comportamento da função para
e
:
- Conforme
cresce positivamente ou negativamente, domina, e tende ao infinito. - Isso confirma que a parábola abre para cima.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- É uma parábola com vértice no ponto mínimo.
- Intercepta o eixo y em
. - Não intercepta o eixo x.
- Tem um ponto removível em
, mas como simplificamos, não afeta a parábola principal.
Resposta
O gráfico de
é uma parábola
que intercepta o eixo y no ponto
, não possui interceptos com o eixo x e abre para cima.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla:
Escreva outras cinco integrais que são iguais a
Resolver a equação diferencial ordinária
aplicando o método de Frobenius.
Calcule a integral dada
; onde
é limitado pelos planos