Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado
, onde
é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral
, onde
é o contorno dado por
,
, com
variando de 1 a 3. Aqui estamos lidando com integração de funções complexas ao longo de um caminho específico no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar o caminho
e usar essa parametrização para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o contorno
. Sabemos que
, então usando as equações dadas:
Então, a parametrização de
em termos de
fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Vamos derivar cada parte da parametrização:
Então,
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, multiplicamos essa expressão por
:
Vamos expandir essa multiplicação:
Calculando cada termo:
Lembrando que
, então:
Agora, somando todos os termos:
Agrupando termos reais e imaginários:
Então,
Passo 6
Agora, nossa integral fica:
Podemos separar a integral em partes reais e imaginárias:
Passo 7
Vamos calcular cada integral separadamente.
Para a parte real:
Calculando nos limites:
Para a parte imaginária:
Calculando nos limites:
Então, a parte imaginária é
.
Resposta
A integral
vale
.
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ou
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