Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado integralC(z+3) d z, onde C é x=2 t, y=4 t-1, 1 <= t <= 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral integralC(z+3) , dz, onde C é o contorno dado por x = 2t, y = 4t - 1, com t variando de 1 a 3. Aqui estamos lidando com integração de funções complexas ao longo de um caminho específico no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar o caminho C e usar essa parametrização para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o contorno C. Sabemos que z = x + iy, então usando as equações dadas:
x = 2t y = 4t - 1
Então, a parametrização de z em termos de t fica:
z(t) = 2t + i(4t - 1)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de z em relação a t, que é dz/dt. Vamos derivar cada parte da parametrização:
dzdt = ddt(2t) + iddt(4t - 1) = 2 + i cdot 4 = 2 + 4i
Então,
dz = (2 + 4i) , dt

Passo 4

Substituindo z(t) e dz na integral original, temos:
integralC (z + 3) , dz = integralt=1^t=3 (2t + i(4t - 1) + 3) cdot (2 + 4i) , dt
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
2t + 3 + i(4t - 1) = (2t + 3) + i(4t - 1)

Passo 5

Agora, multiplicamos essa expressão por (2 + 4i):
[(2t + 3) + i(4t - 1)] cdot (2 + 4i)
Vamos expandir essa multiplicação:
(2t + 3) cdot 2 + (2t + 3) cdot 4i + i(4t - 1) cdot 2 + i(4t - 1) cdot 4i
Calculando cada termo:
  1. (2t + 3) cdot 2 = 4t + 6
  2. (2t + 3) cdot 4i = 8t i + 12i
  3. i(4t - 1) cdot 2 = 8t i - 2i
  4. i(4t - 1) cdot 4i = 16t i^2 - 4i^2
Lembrando que i^2 = -1, então:
16t i^2 - 4i^2 = -16t + 4
Agora, somando todos os termos:
4t + 6 + 8t i + 12i + 8t i - 2i - 16t + 4
Agrupando termos reais e imaginários:
(4t - 16t) + (6 + 4) + (8t i + 8t i + 12i - 2i) = (-12t) + 10 + (16t i + 10i)
Então,
(-12t + 10) + (16t + 10)i

Passo 6

Agora, nossa integral fica:
integral1^3 [(-12t + 10) + (16t + 10)i] , dt
Podemos separar a integral em partes reais e imaginárias:
integral1^3 (-12t + 10) , dt + i integral1^3 (16t + 10) , dt

Passo 7

Vamos calcular cada integral separadamente.
Para a parte real:
integral1^3 (-12t + 10) , dt = [ -6t^2 + 10t ]1^3
Calculando nos limites:
[-6(3)^2 + 10(3)] - [-6(1)^2 + 10(1)] = [-54 + 30] - [-6 + 10] = (-24) - (4) = -28
Para a parte imaginária:
integral1^3 (16t + 10) , dt = [ 8t^2 + 10t ]1^3
Calculando nos limites:
[8(3)^2 + 10(3)] - [8(1)^2 + 10(1)] = [72 + 30] - [8 + 10] = 102 - 18 = 84
Então, a parte imaginária é 84i.

Resposta

A integral integralC(z+3) , dz vale -28 + 84i.

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