Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado , onde é

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral , onde é o contorno dado por , , com variando de 1 a 3. Aqui estamos lidando com integração de funções complexas ao longo de um caminho específico no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar o caminho e usar essa parametrização para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o contorno . Sabemos que , então usando as equações dadas:
Então, a parametrização de em termos de fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Vamos derivar cada parte da parametrização:
Então,

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, multiplicamos essa expressão por :
Vamos expandir essa multiplicação:
Calculando cada termo:
Lembrando que , então:
Agora, somando todos os termos:
Agrupando termos reais e imaginários:
Então,

Passo 6

Agora, nossa integral fica:
Podemos separar a integral em partes reais e imaginárias:

Passo 7

Vamos calcular cada integral separadamente.
Para a parte real:
Calculando nos limites:
Para a parte imaginária:
Calculando nos limites:
Então, a parte imaginária é .

Resposta

A integral vale .

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