Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a origem (centro) e o raio da casca esférica dada pela equação:
Para isso, vamos usar o completar o quadrado, uma técnica importante na geometria analítica para encontrar o centro e o raio de uma esfera a partir de sua equação geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
,
e
:
Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 3
Completando o quadrado para
:
Tomamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4 na equação:
Isso nos dá:
Completando o quadrado para
:
Coeficiente de
é
:
Adicionamos e subtraímos 1:
Que fica:
Completando o quadrado para
:
Coeficiente de
é
:
Adicionamos e subtraímos 9:
Resultado:
Passo 4
Agora, substituímos essas expressões completas na equação original:
Vamos somar os termos constantes:
Então:
Passo 5
Isolando os termos completos na esquerda:
Resposta
A casca esférica tem origem no ponto
e raio igual a
.
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Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado
, onde
é
Sendo
e
pontos no espaço, determinai a distância entre eles.
c) e
.
c)
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utilizando o método dos mínimos quadrados.
Determine um limitante superior para o valor absoluto das integrais ao longo dos contornos especificados
, onde
é o segmento de reta de
a