Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a origem (centro) e o raio da casca esférica dada pela equação:
Para isso, vamos usar o completar o quadrado, uma técnica importante na geometria analítica para encontrar o centro e o raio de uma esfera a partir de sua equação geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de , e :
Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis , e .

Passo 3

Completando o quadrado para :

Tomamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 4 na equação:
Isso nos dá:

Completando o quadrado para :

Coeficiente de é :
Adicionamos e subtraímos 1:
Que fica:

Completando o quadrado para :

Coeficiente de é :
Adicionamos e subtraímos 9:
Resultado:

Passo 4

Agora, substituímos essas expressões completas na equação original:
Vamos somar os termos constantes:
Então:

Passo 5

Isolando os termos completos na esquerda:

Resposta

A casca esférica tem origem no ponto e raio igual a .

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