Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado , onde é metade direita da circunferência , de a

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral de uma função complexa, especificamente , ao longo de um caminho . O caminho é a metade direita da circunferência de raio 1 no plano complexo, que vai de até . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais no plano complexo, como parametrização de curvas e integração de funções complexas.

Passo 2

Vamos parametrizar o caminho . Como é a metade direita da circunferência , podemos usar a parametrização em termos de , onde varia de a . Assim, temos:
Aqui, representa o ângulo no plano complexo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Derivando :
Então, .

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Simplificando a fração:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
Integrando cada parte:
  1. Para , sabemos que a integral de é .
  2. Para , a integral é simplesmente .

Passo 6

Calculando as integrais:
Simplificando:
Multiplicando:

Resposta

A integral vale .

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Descrevei as regiões representadas pelas equações e inequações abaixo.
f) e .
Descrevei as regiões representadas pelas equações e inequações abaixo.
a) .
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Obtenha os máximos e mínimos de restrita a : e