Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado
, onde
é metade direita da circunferência
, de
a
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral de uma função complexa, especificamente
, ao longo de um caminho
. O caminho
é a metade direita da circunferência de raio 1 no plano complexo, que vai de
até
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais no plano complexo, como parametrização de curvas e integração de funções complexas.
Passo 2
Vamos parametrizar o caminho
. Como
é a metade direita da circunferência
, podemos usar a parametrização em termos de
, onde
varia de
a
. Assim, temos:
Aqui,
representa o ângulo no plano complexo.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Derivando
:
Então,
.
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Simplificando a fração:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos separar a integral em duas partes:
Integrando cada parte:
- Para
, sabemos que a integral de é . - Para
, a integral é simplesmente .
Passo 6
Calculando as integrais:
Simplificando:
Multiplicando:
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
Descrevei as regiões representadas pelas equações e inequações abaixo.
f) e
.
f)
Descrevei as regiões representadas pelas equações e inequações abaixo.
a) .
a)
Sobre os vetores e escalares, respondei o que se pede abaixo.
e) A população de um país é uma grandeza escalar ou vetorial? Justificai.
e) A população de um país é uma grandeza escalar ou vetorial? Justificai.
Obtenha os máximos e mínimos de
restrita a
:
e