Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado integralC z+1z d z, onde C é metade direita da circunferência |z|=1, de z=-i a z=i

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral de uma função complexa, especificamente , ao longo de um caminho . O caminho é a metade direita da circunferência de raio 1 no plano complexo, que vai de até . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais no plano complexo, como parametrização de curvas e integração de funções complexas.

Passo 2

Vamos parametrizar o caminho z(theta) = e^itheta = costheta + isintheta . Como é a metade direita da circunferência , podemos usar a parametrização em termos de , onde varia de a . Assim, temos:
Aqui, representa o ângulo no plano complexo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dz = ddtheta e^itheta dtheta = i e^itheta dtheta em relação a , que é . Derivando :
Então, .

Passo 4

Substituímos integralC z+1z dz = integral-pi2^pi2 e^itheta + 1e^itheta cdot i e^itheta dtheta e e^itheta + 1e^itheta = 1 + e^-itheta na integral original:
i integral-pi2^pi2 (1 + e^-itheta) e^itheta dtheta = i integral-pi2^pi2 (e^itheta + 1) dtheta
Simplificando a fração:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
i ( integral-pi2^pi2 e^itheta dtheta + integral-pi2^pi2 1 dtheta )
Integrando cada parte:
  1. Para , sabemos que a integral de é .
  2. Para , a integral é simplesmente .

Passo 6

Calculando as integrais:
i ( [ e^ithetai ]-pi2^pi2 + [ theta ]-pi2^pi2 ) = i ( e^ipi2 - e^-ipi2i + pi2 - (-pi2) )
Simplificando:
i ( i - (-i)i + pi ) = i ( 2ii + pi ) = i (2 + pi)
Multiplicando:
i cdot 2 + i cdot pi = 2i + ipi

Resposta

A integral vale .

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