Obtenha os máximos e mínimos de
restrita a
:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que encontrar os máximos e mínimos da função
sujeita à restrição
. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica da matemática que ajuda a encontrar os extremos de uma função com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Essa função combina a nossa função original
com a restrição
, usando um multiplicador (geralmente chamado de
). A função de Lagrange fica assim:
Substituindo nossos valores, temos:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e igualá-las a zero. Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Vamos simplificar essas equações:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
Substituindo
nessa equação:
Fatorando
(assumindo
):
Expandindo:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 6
Vamos encontrar os pontos correspondentes para cada valor de
:
- Para
:
Substituindo na restrição
:
Então,
Os pontos são
e
.
- Para
:
Substituindo na restrição:
Então,
Os pontos são
e
.
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor de
em cada um desses pontos para identificar quais são máximos e quais são mínimos.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Os máximos de
sujeitos à restrição
são
nos pontos
e
. Os mínimos são
nos pontos
e
.
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Sobre os vetores e escalares, respondei o que se pede abaixo.
e) A população de um país é uma grandeza escalar ou vetorial? Justificai.
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Calcule a integral dada ao longo do contorno especificado
, onde
é metade direita da circunferência
, de
a
Determine um limitante superior para o valor absoluto das integrais ao longo dos contornos especificados
, onde
é a circunferência
Obtenha os pontos críticos das seguintes funções e decida se são pontos de máximo, minimo ou sela:
em
e