Obtenha os máximos e mínimos de f(x, y) restrita a g(x, y) = 0 : f(x, y) = x^2 - 2xy + 3y^2 e x^2 + 2y^2 = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que encontrar os máximos e mínimos da função sujeita à restrição . Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica da matemática que ajuda a encontrar os extremos de uma função com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Essa função combina a nossa função original com a restrição , usando um multiplicador (geralmente chamado de ). A função de Lagrange fica assim:
Substituindo nossos valores, temos:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e , e igualá-las a zero. Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Vamos simplificar essas equações:
  1. Da primeira equação:
  1. Da segunda equação:
Substituindo nessa equação:
Fatorando (assumindo ):
Expandindo:

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática para :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:

Passo 6

Vamos encontrar os pontos correspondentes para cada valor de :
  1. Para :
Substituindo na restrição :
Então,
Os pontos são e .
  1. Para :
Substituindo na restrição:
Então,
Os pontos são e .

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor de em cada um desses pontos para identificar quais são máximos e quais são mínimos.
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

Os máximos de sujeitos à restrição são nos pontos e . Os mínimos são nos pontos e .

Exercícios relacionados