Calcule a integral dada e simplifique a resposta.

Passo 1

Estamos lidando com a integral . Esse exercício está no âmbito do Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão no denominador e talvez usar uma substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o denominador para facilitar a fatoração. Podemos reescrever como:

Passo 3

Agora, completando o quadrado dentro do parêntese:
Portanto:

Passo 4

Substituindo de volta na integral, temos:
Essa forma sugere o uso de uma substituição trigonométrica.

Passo 5

Vamos fazer a substituição . Assim, o diferencial será:

Passo 6

Substituindo na integral:

Passo 7

Simplificando o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 8

Sabemos que , então:

Passo 9

Voltando para a variável original , lembramos que . Então:
Portanto:

Passo 10

Simplificando a expressão final:

Resposta

Exercícios relacionados

Discutir o comportamento das soluções das equações seguintes, e sua interpretação física:
28a) Equação homogênea de mola:
Redução de ordem: (Variável Independente Ausente). Se a variável não estiver presente explicitamente na equação, introduzimos uma nova variável dependente , fazendo , e temos então que e, fazendo a substituição, a equação se transforma em duas equações de 1a. ordem.
Exemplo: Para a equação obtemos e .
Resolva por esse método as seguintes equações:
19a)
Considerando , determine a expressão e o domínio de cada uma das funções abaixo.
(b)
Equação diferencial de Bernoulli. É uma equação diferencial não linear de 1ª ordem da forma
onde é uma constante real diferente de 0 e 1 . Se , (B) é uma equação linear homogênea. Observe que é sempre uma solução de (B). Para achar outras soluções, mostre que a mudança transforma (B) na equação linear
Use esse método para resolver as seguintes equações:
9a)