Calcule a integral dada e simplifique a resposta.
Passo 1
Estamos lidando com a integral
. Esse exercício está no âmbito do Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão no denominador e talvez usar uma substituição trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o denominador
para facilitar a fatoração. Podemos reescrever como:
Passo 3
Agora, completando o quadrado dentro do parêntese:
Portanto:
Passo 4
Substituindo de volta na integral, temos:
Essa forma sugere o uso de uma substituição trigonométrica.
Passo 5
Vamos fazer a substituição
. Assim, o diferencial
será:
Passo 6
Substituindo na integral:
Passo 7
Simplificando o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 8
Sabemos que
, então:
Passo 9
Voltando para a variável original
, lembramos que
. Então:
Portanto:
Passo 10
Simplificando a expressão final:
Resposta
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28a) Equação homogênea de mola:
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Redução de ordem: (Variável Independente Ausente). Se a variável
não estiver presente explicitamente na equação, introduzimos uma nova variável dependente
, fazendo
, e temos então que
e, fazendo a substituição, a equação se transforma em duas equações de 1a. ordem.
Exemplo: Para a equação obtemos
e
.
Resolva por esse método as seguintes equações:
19a)
Exemplo: Para a equação
Resolva por esse método as seguintes equações:
19a)
Considerando
, determine a expressão e o domínio de cada uma das funções abaixo.
(b)
(b)
Equação diferencial de Bernoulli. É uma equação diferencial não linear de 1ª ordem da forma
onde
é uma constante real diferente de 0 e 1 . Se
, (B) é uma equação linear homogênea. Observe que
é sempre uma solução de (B). Para achar outras soluções, mostre que a mudança
transforma (B) na equação linear
Use esse método para resolver as seguintes equações:
9a)
9a)