Calcule a integral dada e simplifique a resposta.
Passo 1
Estamos lidando com a integral
. Esse exercício está no âmbito do Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão no denominador e talvez usar uma substituição trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o denominador
para facilitar a fatoração. Podemos reescrever como:
Passo 3
Agora, completando o quadrado dentro do parêntese:
Portanto:
Passo 4
Substituindo de volta na integral, temos:
Essa forma sugere o uso de uma substituição trigonométrica.
Passo 5
Vamos fazer a substituição
. Assim, o diferencial
será:
Passo 6
Substituindo na integral:
Passo 7
Simplificando o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 8
Sabemos que
, então:
Passo 9
Voltando para a variável original
, lembramos que
. Então:
Portanto:
Passo 10
Simplificando a expressão final: