Calcule a integral dada e simplifique a resposta. integral 1(4 x-x^2)^32 d x

Passo 1

Estamos lidando com a integral . Esse exercício está no âmbito do Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão no denominador e talvez usar uma substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o denominador 4x - x^2 = -x^2 + 4x = -(x^2 - 4x) para facilitar a fatoração. Podemos reescrever como:

Passo 3

Agora, completando o quadrado dentro do parêntese:
x^2 - 4x = x^2 - 4x + 4 - 4 = (x - 2)^2 - 4
Portanto:
4x - x^2 = -[(x - 2)^2 - 4] = 4 - (x - 2)^2

Passo 4

Substituindo de volta na integral, temos:
integral 1(4 - (x - 2)^2)^32 dx
Essa forma sugere o uso de uma substituição trigonométrica.

Passo 5

Vamos fazer a substituição dx = 2 cos theta , dtheta . Assim, o diferencial será:

Passo 6

Substituindo na integral:
integral 1(4 - (2 sin theta)^2)^32 cdot 2 cos theta , dtheta = integral 2 cos theta(4 - 4 sin^2 theta)^32 dtheta

Passo 7

Simplificando o denominador:
4 - 4 sin^2 theta = 4(1 - sin^2 theta) = 4 cos^2 theta
Então, a integral fica:
integral 2 cos theta(4 cos^2 theta)^32 dtheta = integral 2 cos theta8 cos^3 theta dtheta = integral 14 cos^2 theta dtheta

Passo 8

Sabemos que integral sec^2 theta4 dtheta = 14 integral sec^2 theta , dtheta = 14 tan theta + C , então:

Passo 9

Voltando para a variável original tan theta = sin thetacos theta = x - 22raiz1 - (x - 22)^2 = x - 2raiz4 - (x - 2)^2 , lembramos que 14 tan theta + C = 14 cdot x - 2raiz4x - x^2 + C . Então:
Portanto:

Passo 10

Simplificando a expressão final:
x - 24 raiz4x - x^2 + C

Resposta

x - 24 raiz4x - x^2 + C

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