Redução de ordem: (Variável Independente Ausente). Se a variável
não estiver presente explicitamente na equação, introduzimos uma nova variável dependente
, fazendo
, e temos então que
e, fazendo a substituição, a equação se transforma em duas equações de 1a. ordem.
Exemplo: Para a equação
obtemos
e
.
Resolva por esse método as seguintes equações:
19a)
Exemplo: Para a equação
Resolva por esse método as seguintes equações:
19a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método de redução de ordem. A matéria que estamos lidando aqui é equações diferenciais de segunda ordem onde a variável independente (
) não aparece explicitamente. Para resolver, vamos precisar introduzir uma nova variável dependente
.
Passo 2
Primeiro, definimos
. Isso significa que a segunda derivada de
em relação a
, que é
, pode ser escrita em termos de
da seguinte maneira:
Passo 3
Como
não está presente explicitamente na equação, podemos usar a regra da cadeia para expressar
em termos de
:
Então, substituímos isso na nossa equação original.
Passo 4
Substituindo
na equação
:
Agora temos uma equação de primeira ordem em termos de
e
.
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Agora, separamos as variáveis
e
para integrar ambos os lados:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
:
Para simplificar, podemos reescrever
como uma nova constante
:
Passo 8
Agora, separamos as variáveis novamente para integrar:
A solução dessa integral envolve funções trigonométricas. Após resolver, obtemos a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação
é:
Onde
e
são constantes de integração.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Mostre que a substituição
transforma a equação
numa equação de variáveis separáveis. Aplique esse método para resolver as equações
8a)
8a)
Discutir o comportamento das soluções das equações seguintes, e sua interpretação física:
28a) Equação homogênea de mola:
28a) Equação homogênea de mola:
Calcule a integral dada e simplifique a resposta.