Redução de ordem: (Variável Independente Ausente). Se a variável não estiver presente explicitamente na equação, introduzimos uma nova variável dependente , fazendo , e temos então que e, fazendo a substituição, a equação se transforma em duas equações de 1a. ordem.
Exemplo: Para a equação obtemos e .
Resolva por esse método as seguintes equações:
19a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método de redução de ordem. A matéria que estamos lidando aqui é equações diferenciais de segunda ordem onde a variável independente ( ) não aparece explicitamente. Para resolver, vamos precisar introduzir uma nova variável dependente .

Passo 2

Primeiro, definimos . Isso significa que a segunda derivada de em relação a , que é , pode ser escrita em termos de da seguinte maneira:

Passo 3

Como não está presente explicitamente na equação, podemos usar a regra da cadeia para expressar em termos de :
Então, substituímos isso na nossa equação original.

Passo 4

Substituindo na equação :
Agora temos uma equação de primeira ordem em termos de e .

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Agora, separamos as variáveis e para integrar ambos os lados:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para :
Para simplificar, podemos reescrever como uma nova constante :

Passo 8

Agora, separamos as variáveis novamente para integrar:
A solução dessa integral envolve funções trigonométricas. Após resolver, obtemos a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde e são constantes de integração.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Mostre que a substituição transforma a equação numa equação de variáveis separáveis. Aplique esse método para resolver as equações
8a)
Discutir o comportamento das soluções das equações seguintes, e sua interpretação física:
28a) Equação homogênea de mola:
Calcule a integral dada e simplifique a resposta.