Redução de ordem: (Variável Independente Ausente). Se a variável x não estiver presente explicitamente na equação, introduzimos uma nova variável dependente u, fazendo u = y' = dy/dx, e temos então que y'' = du/dx = du/dy * dy/dx = u * du/dy e, fazendo a substituição, a equação se transforma em duas equações de 1a. ordem.
Exemplo: Para a equação y'' + y = 0 obtemos u * du/dy + y = 0 e u = dy/dx.
Resolva por esse método as seguintes equações:
19a) y'' + 4y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método de redução de ordem. A matéria que estamos lidando aqui é equações diferenciais de segunda ordem onde a variável independente ( x) não aparece explicitamente. Para resolver, vamos precisar introduzir uma nova variável dependente .

Passo 2

Primeiro, definimos . Isso significa que a segunda derivada de y em relação a x, que é , pode ser escrita em termos de u da seguinte maneira:

Passo 3

Como x não está presente explicitamente na equação, podemos usar a regra da cadeia para expressar em termos de y:
Então, substituímos isso na nossa equação original.

Passo 4

Substituindo na equação :
Agora temos uma equação de primeira ordem em termos de u e y.

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Agora, separamos as variáveis u e y para integrar ambos os lados:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para u:
Para simplificar, podemos reescrever como uma nova constante K:

Passo 8

Agora, separamos as variáveis novamente para integrar:
A solução dessa integral envolve funções trigonométricas. Após resolver, obtemos a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde e são constantes de integração.

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