Discutir o comportamento das soluções das equações seguintes, e sua interpretação física:
28a) Equação homogênea de mola:
28a) Equação homogênea de mola:
Passo 1
Beleza, então a gente vai analisar o comportamento das soluções da equação diferencial dada, que é uma equação homogênea de mola. Essa equação representa o movimento de um sistema massa-mola com amortecimento. Vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, especialmente aquelas com coeficientes constantes, e como elas descrevem sistemas oscilatórios amortecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação:
Aqui,
representa a posição da massa em função do tempo,
é o coeficiente de amortecimento, e
está relacionado à frequência natural do sistema.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos procurar soluções da forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 4
Essa é uma equação quadrática em
. Para encontrar as raízes, usamos a fórmula de Bhaskara:
Passo 5
Agora, vamos analisar o discriminante
. Dependendo do valor de
em relação a
, temos três casos:
-
Subamortecido (
): -
- As raízes são complexas:
- A solução geral é uma função exponencial multiplicada por senos e cossenos.
- Isso significa que o sistema oscila com amplitude decrescente ao longo do tempo.
-
-
Criticamente amortecido (
): -
- As raízes são reais e iguais:
- A solução geral envolve termos exponenciais e lineares.
- Nesse caso, o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar e no menor tempo possível.
-
-
Superamortecido (
): -
- As raízes são reais e distintas:
- A solução geral é a soma de duas funções exponenciais decrescentes.
- O sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas de forma mais lenta comparado ao caso criticamente amortecido.
-
Resposta
Dependendo do valor de
em relação a
, temos:
- Subamortecido (
): Soluções oscilam com amplitude decrescente. - Criticamente amortecido (
): Soluções retornam ao equilíbrio sem oscilar no menor tempo possível. - Superamortecido (
): Soluções retornam ao equilíbrio sem oscilar, mas de forma mais lenta.
Isso reflete como o sistema massa-mola se comporta com diferentes níveis de amortecimento.
Exercícios relacionados
Redução de ordem: (Variável Independente Ausente). Se a variável
não estiver presente explicitamente na equação, introduzimos uma nova variável dependente
, fazendo
, e temos então que
e, fazendo a substituição, a equação se transforma em duas equações de 1a. ordem.
Exemplo: Para a equação obtemos
e
.
Resolva por esse método as seguintes equações:
19a)
Exemplo: Para a equação
Resolva por esse método as seguintes equações:
19a)
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Calcule a integral dada e simplifique a resposta.
Considerando
, determine a expressão e o domínio de cada uma das funções abaixo.
(b)
(b)