Discutir o comportamento das soluções das equações seguintes, e sua interpretação física:
28a) Equação homogênea de mola:

Passo 1

Beleza, então a gente vai analisar o comportamento das soluções da equação diferencial dada, que é uma equação homogênea de mola. Essa equação representa o movimento de um sistema massa-mola com amortecimento. Vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, especialmente aquelas com coeficientes constantes, e como elas descrevem sistemas oscilatórios amortecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação:
Aqui, representa a posição da massa em função do tempo, é o coeficiente de amortecimento, e está relacionado à frequência natural do sistema.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos procurar soluções da forma , onde é uma constante que precisamos determinar. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 4

Essa é uma equação quadrática em . Para encontrar as raízes, usamos a fórmula de Bhaskara:

Passo 5

Agora, vamos analisar o discriminante . Dependendo do valor de em relação a , temos três casos:
  1. Subamortecido ( ):
    • As raízes são complexas:
    • A solução geral é uma função exponencial multiplicada por senos e cossenos.
    • Isso significa que o sistema oscila com amplitude decrescente ao longo do tempo.
  2. Criticamente amortecido ( ):
    • As raízes são reais e iguais:
    • A solução geral envolve termos exponenciais e lineares.
    • Nesse caso, o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar e no menor tempo possível.
  3. Superamortecido ( ):
    • As raízes são reais e distintas:
    • A solução geral é a soma de duas funções exponenciais decrescentes.
    • O sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas de forma mais lenta comparado ao caso criticamente amortecido.

Resposta

Dependendo do valor de em relação a , temos:
  • Subamortecido ( ): Soluções oscilam com amplitude decrescente.
  • Criticamente amortecido ( ): Soluções retornam ao equilíbrio sem oscilar no menor tempo possível.
  • Superamortecido ( ): Soluções retornam ao equilíbrio sem oscilar, mas de forma mais lenta.
Isso reflete como o sistema massa-mola se comporta com diferentes níveis de amortecimento.

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Redução de ordem: (Variável Independente Ausente). Se a variável não estiver presente explicitamente na equação, introduzimos uma nova variável dependente , fazendo , e temos então que e, fazendo a substituição, a equação se transforma em duas equações de 1a. ordem.
Exemplo: Para a equação obtemos e .
Resolva por esse método as seguintes equações:
19a)
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Calcule a integral dada e simplifique a resposta.
Considerando , determine a expressão e o domínio de cada uma das funções abaixo.
(b)