Considerando f(x) = (4 - x) / x, determine a expressão e o domínio de cada uma das funções abaixo.
(b) f(x^2) - f(x)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a expressão e o domínio da função , onde . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre funções compostas, operações com funções e como determinar o domínio de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Isso significa substituir por na função :

Passo 3

Agora, vamos calcular . Isso quer dizer elevar a função ao quadrado:

Passo 4

Com as duas expressões em mãos, vamos subtrair de :

Passo 5

Como os denominadores são iguais, podemos fazer a subtração diretamente nos numeradores:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 7

Agora, vamos descobrir o domínio dessa nova função. O domínio de uma função racional é todo valor de que não faz o denominador igual a zero.
No nosso caso, o denominador é , então:
Além disso, precisamos garantir que as funções originais e também estejam definidas. Como , já vimos que também para .
Portanto, o domínio é todos os números reais menos zero.

Resposta

A expressão de é
e o domínio é todos os reais exceto zero, ou seja, .

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