Equação diferencial de Bernoulli. É uma equação diferencial não linear de 1ª ordem da forma
onde
é uma constante real diferente de 0 e 1 . Se
, (B) é uma equação linear homogênea. Observe que
é sempre uma solução de (B). Para achar outras soluções, mostre que a mudança
transforma (B) na equação linear
Use esse método para resolver as seguintes equações:
9a)
9a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial de Bernoulli. Esse tipo de equação tem a forma geral:
Aqui,
é um número real diferente de 0 e 1. Nosso objetivo é transformar a equação dada em uma equação linear que seja mais fácil de resolver usando uma substituição. Para isso, vamos precisar identificar os componentes
,
e o valor de
na equação que nos foi dada:
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação de Bernoulli. Vamos dividir tudo por
para isolar
:
Simplificando:
Agora, a equação está na forma:
Onde:
Passo 3
Vamos aplicar a substituição sugerida para transformar a equação de Bernoulli em uma equação linear. A substituição é:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Substituímos
na equação original usando a expressão acima:
Agora, vamos substituir
na equação de Bernoulli:
Podemos dividir toda a equação por
(já que
):
Passo 5
Agora, temos uma equação linear simples para
:
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos voltar para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: