Equação diferencial de Bernoulli. É uma equação diferencial não linear de 1ª ordem da forma
y' + p(x) y = q(x) y^n
onde n é uma constante real diferente de 0 e 1 . Se n = 1, (B) é uma equação linear homogênea. Observe que y = 0 é sempre uma solução de (B). Para achar outras soluções, mostre que a mudança z = y^(-n + 1) transforma (B) na equação linear
z' + (1-n) p(x) z = (1-n) q(x)
Use esse método para resolver as seguintes equações:
9a) y(6 x^2 y^2 - x + 1) + 2 x y' = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial de Bernoulli. Esse tipo de equação tem a forma geral:
Aqui, n é um número real diferente de 0 e 1. Nosso objetivo é transformar a equação dada em uma equação linear que seja mais fácil de resolver usando uma substituição. Para isso, vamos precisar identificar os componentes p(x), q(x) e o valor de n na equação que nos foi dada:

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação de Bernoulli. Vamos dividir tudo por para isolar :
Simplificando:
Agora, a equação está na forma:
Onde:

Passo 3

Vamos aplicar a substituição sugerida para transformar a equação de Bernoulli em uma equação linear. A substituição é:
Agora, precisamos encontrar a derivada de z em relação a x. Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Substituímos y' na equação original usando a expressão acima:
Agora, vamos substituir y' na equação de Bernoulli:
Podemos dividir toda a equação por (já que y ≠ 0):

Passo 5

Agora, temos uma equação linear simples para z:
Vamos integrar ambos os lados em relação a x:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Lembrando que fizemos a substituição , vamos voltar para y:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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