Calcule a integral dada, transformando-a em coordenadas po lares:
a)
que est onde e entre as circunferencias e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular uma integral dupla, ou seja, somar valores de uma função sobre uma região específica. A função que vamos integrar é e a região está entre duas circunferências: uma de raio 1 () e outra de raio 2 (). Vamos usar coordenadas polares para facilitar a conta, já que estamos lidando com círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como mudar de coordenadas cartesianas para polares. Nas coordenadas polares, e , onde é a distância ao centro e é o ângulo com o eixo x. Além disso, o elemento de área em polares é .
Passo 3
Vamos reescrever a função em coordenadas polares:
Passo 4
Agora, configuramos os limites da integral. Como está entre as circunferências de raio 1 e 2, vai de 1 a 2. Para , como estamos cobrindo toda a área circular, varia de 0 a .