Calcule a integral dada, transformando-a em coordenadas po lares:
a)
que est
R x + y dA onde R
y e entre as circunferencias x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular uma integral dupla, ou seja, somar valores de uma função sobre uma região específica. A função que vamos integrar é e a região está entre duas circunferências: uma de raio 1 ( ) e outra de raio 2 ( ). Vamos usar coordenadas polares para facilitar a conta, já que estamos lidando com círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como mudar de coordenadas cartesianas para polares. Nas coordenadas polares, e , onde é a distância ao centro e é o ângulo com o eixo x. Além disso, o elemento de área em polares é .

Passo 3

Vamos reescrever a função em coordenadas polares:

Passo 4

Agora, configuramos os limites da integral. Como está entre as circunferências de raio 1 e 2, vai de 1 a 2. Para , como estamos cobrindo toda a área circular, varia de 0 a .

Passo 5

Montamos a integral dupla em coordenadas polares:

Passo 6

Vamos primeiro integrar em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral total é:

Resposta

A integral dupla é igual a 0.

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