Calcule o volume do sa) E = {(x, y, z) | 0 <= x <= 1 ; 0 <= y <= 2 - 2z ; 0 <= z <= 1 - x}; b)
$E=\left{(x, y, z) / 0 \leq x \leq 4-y^{2} ; 0 \leq y \leq 2 ; 0 \leq z \leq 2-y\right};

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume de dois conjuntos definidos por restrições nas variáveis , e . Para isso, vamos usar o conceito de integrais múltiplas em cálculo tridimensional, que nos ajuda a encontrar volumes de regiões no espaço.

Passo 2

Vamos começar pela parte a):
O conjunto é definido por:
Para encontrar o volume desse conjunto, vamos montar uma integral tripla nas variáveis , e .

Passo 3

Primeiro, identificamos os limites de integração para cada variável:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 a .
  • Para cada , varia de 0 a .

Passo 4

Agora, configuramos a integral tripla para calcular o volume :

Passo 5

Vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 6

Substituímos o resultado na integral:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :

Passo 8

Substituímos o resultado na integral:

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a :

Passo 10

Agora, vamos resolver a parte b):
O conjunto é definido por:

Passo 11

Identificamos os limites de integração para cada variável:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 a .
  • Para cada , varia de 0 a .

Passo 12

Configuramos a integral tripla para calcular o volume :

Passo 13

Vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 14

Substituímos o resultado na integral:

Passo 15

Agora, integramos em relação a :

Passo 16

Expandimos a expressão:

Passo 17

Substituímos na integral:

Passo 18

Integramos termo a termo em relação a :

Passo 19

Somamos todos os resultados:

Resposta

a) O volume do conjunto na parte a) é unidades cúbicas.
b) O volume do conjunto na parte b) é unidades cúbicas.

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