Calcule o volume do sa) ; b)
$E=\left{(x, y, z) / 0 \leq x \leq 4-y^{2} ; 0 \leq y \leq 2 ; 0 \leq z \leq 2-y\right};
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume de dois conjuntos definidos por restrições nas variáveis , e . Para isso, vamos usar o conceito de integrais múltiplas em cálculo tridimensional, que nos ajuda a encontrar volumes de regiões no espaço.
Passo 2
Vamos começar pela parte a):
O conjunto é definido por:
Para encontrar o volume desse conjunto, vamos montar uma integral tripla nas variáveis , e .
Passo 3
Primeiro, identificamos os limites de integração para cada variável:
varia de 0 a 1.
Para cada , varia de 0 a .
Para cada , varia de 0 a .
Passo 4
Agora, configuramos a integral tripla para calcular o volume :
Passo 5
Vamos integrar em relação a primeiro:
Passo 6
Substituímos o resultado na integral:
Passo 7
Agora, integramos em relação a :
Passo 8
Substituímos o resultado na integral:
Passo 9
Finalmente, integramos em relação a :
Passo 10
Agora, vamos resolver a parte b):
O conjunto é definido por:
Passo 11
Identificamos os limites de integração para cada variável:
varia de 0 a 2.
Para cada , varia de 0 a .
Para cada , varia de 0 a .
Passo 12
Configuramos a integral tripla para calcular o volume :
Passo 13
Vamos integrar em relação a primeiro:
Passo 14
Substituímos o resultado na integral:
Passo 15
Agora, integramos em relação a :
Passo 16
Expandimos a expressão:
Passo 17
Substituímos na integral:
Passo 18
Integramos termo a termo em relação a :
Passo 19
Somamos todos os resultados:
Resposta
a) O volume do conjunto na parte a) é unidades cúbicas.
b) O volume do conjunto na parte b) é unidades cúbicas.