Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Passo 1
Resumo da Questão: Temos uma integral dupla onde
varia de
a
, e para cada
,
varia até
. Vamos trabalhar com integrais múltiplas e mudar a ordem de integração. Para isso, precisamos entender a região de integração e reorganizar os limites de forma adequada.
Passo 2
Entendendo a Região de Integração: A integral dada é
Aqui,
varia de
a
, e para cada
,
vai de algum valor até
. Observando
, percebemos que ela representa a equação de um círculo de raio
centrado na origem, já que
.
Passo 3
Esboçando a Região de Integração: A região descrita é a metade direita do círculo de raio
. Isso porque para cada
,
começa de
até
, cobrindo todo o círculo.
Passo 4
Mudando a Ordem de Integração: Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar
em função de
.
- Limites de
: Como o círculo tem raio , varia de a . - Limites de
: Para cada , varia de a .
Resposta
A integral com a ordem de integração trocada fica: