Supondo que r(t) = < t^4, t, t^2 >, determine $\mathbf{r}^{\prime}(t), \mathbf{T}(1), \mathbf{r}^{\prime \prime}(t) \

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial r(t) = < t^4, t, t^2 >. O objetivo é encontrar a primeira derivada r'(t), a segunda derivada r''(t) e o vetor tangente unitário no ponto onde t = 1. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais e vetores unitários.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada da função vetorial r(t). A derivada de uma função vetorial é feita derivando cada componente em relação a t.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada r''(t). Isso significa derivar novamente cada componente da primeira derivada.

Passo 4

Para encontrar o vetor tangente unitário no ponto t = 1, primeiro precisamos calcular e, em seguida, normalizar esse vetor.
Primeiro, avaliamos :
Agora, calculamos a magnitude de :
Finalmente, o vetor tangente unitário é:

Resposta

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