Determine os extremos de z = cos^2(x) + cos^2(y) sob a condi, ceao x - y = pi / 4.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar os extremos da função com a condição . Este é um problema de otimização com restrição, que envolve conhecimentos de cálculo, especialmente em otimização de funções com condições específicas.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a função em termos de uma única variável usando a condição . Vamos isolar uma das variáveis. Por exemplo, podemos escrever .

Passo 3

Substituindo na função , temos:

Passo 4

Agora, vamos utilizar a identidade trigonométrica que expressa em termos de :
Aplicando essa identidade na função :

Passo 5

Simplificando a expressão:

Passo 6

Usando a identidade trigonométrica , podemos simplificar :
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 7

Agora, a função ficou mais simples:
Para encontrar os extremos, vamos derivar em relação a e igualar a zero.

Passo 8

Calculando a derivada de em relação a :
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 9

Resolvendo a equação :
As soluções para são:

Passo 10

Agora, substituindo os valores de de volta na condição :

Passo 11

Finalmente, para cada par encontrado, calculamos o valor de :
Como possui período , os valores de se repetem a cada .

Resposta

Os extremos de sob a condição ocorrem quando:
Nestes pontos, a função atinge seus valores máximos e mínimos periódicos.

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