Determine os extremos de
sob a condi, ceao
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar os extremos da função
com a condição
. Este é um problema de otimização com restrição, que envolve conhecimentos de cálculo, especialmente em otimização de funções com condições específicas.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar a função
em termos de uma única variável usando a condição
. Vamos isolar uma das variáveis. Por exemplo, podemos escrever
.
Passo 3
Substituindo
na função
, temos:
Passo 4
Agora, vamos utilizar a identidade trigonométrica que expressa
em termos de
:
Aplicando essa identidade na função
:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Passo 6
Usando a identidade trigonométrica
, podemos simplificar
:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 7
Agora, a função ficou mais simples:
Para encontrar os extremos, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero.
Passo 8
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 9
Resolvendo a equação
:
As soluções para
são:
Passo 10
Agora, substituindo os valores de
de volta na condição
:
Passo 11
Finalmente, para cada par
encontrado, calculamos o valor de
:
Como
possui período
, os valores de
se repetem a cada
.
Resposta
Os extremos de
sob a condição
ocorrem quando:
Nestes pontos, a função
atinge seus valores máximos e mínimos periódicos.