Calcule a integral definida. 33. integrallang<= t e^t, ln trang<= d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de um vetor, que é dado por integrallang<= t e^t, ln trang<= d t. Estamos trabalhando com cálculo de integrais de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos integrar cada componente do vetor separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no primeiro componente da função vetorial: t e^t. Para integrar essa função, vamos usar a técnica de integração por partes. A ideia é escolher partes da função para derivar e outras para integrar, facilitando o cálculo.

Passo 3

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u v - integral v , du
Escolhemos u = t (que vai se simplificar ao derivar) e dv = e^t dt (que é fácil de integrar).

Passo 4

Calculando du e v:
du = dt v = integral e^t dt = e^t
Agora, aplicamos a fórmula:
integral t e^t dt = t e^t - integral e^t dt = t e^t - e^t + C

Passo 5

Simplificando, o primeiro componente da integral fica:
integral t e^t dt = e^t (t - 1) + C

Passo 6

Agora, vamos para o segundo componente: ln t. Para integrar essa função, usamos novamente a integração por partes.

Passo 7

Usamos a mesma fórmula:
integral u , dv = u v - integral v , du
Escolhemos u = ln t e dv = dt.

Passo 8

Calculando du e v:
du = 1t dt v = integral dt = t
Aplicando a fórmula:
integral ln t , dt = t ln t - integral t cdot 1t dt = t ln t - integral 1 , dt = t ln t - t + C

Passo 9

Então, a integral do segundo componente fica:
integral ln t , dt = t ln t - t + C

Resposta

Juntando os dois componentes, a integral definida é:
integrallang<= t e^t, ln trang<= d t = lang<= e^t (t - 1), , t ln t - t rang<= + C

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