Calcule a integral definida. 33.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de um vetor, que é dado por
. Estamos trabalhando com cálculo de integrais de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos integrar cada componente do vetor separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no primeiro componente da função vetorial:
. Para integrar essa função, vamos usar a técnica de integração por partes. A ideia é escolher partes da função para derivar e outras para integrar, facilitando o cálculo.
Passo 3
A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos
(que vai se simplificar ao derivar) e
(que é fácil de integrar).
Passo 4
Calculando
e
:
Agora, aplicamos a fórmula:
Passo 5
Simplificando, o primeiro componente da integral fica:
Passo 6
Agora, vamos para o segundo componente:
. Para integrar essa função, usamos novamente a integração por partes.
Passo 7
Usamos a mesma fórmula:
Escolhemos
e
.
Passo 8
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula:
Passo 9
Então, a integral do segundo componente fica:
Resposta
Juntando os dois componentes, a integral definida é: