Calcule a integral definida. 40. integral0^1(e^2 t i+e^-t j+t k) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de um vetor. O enunciado é:
integral0^1(e^2 t i+e^-t j+t k) d t
Aqui, estamos trabalhando com integrais de funções vetoriais, que envolvem calcular a integral de cada componente separadamente. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração de funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em suas componentes individuais. Ou seja, vamos calcular a integral de cada parte do vetor integral0^1 e^2t i , dt + integral0^1 e^-t j , dt + integral0^1 t k , dt , e separadamente. Assim, temos:

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira integral:
integral0^1 e^2t , dt
A função integral e^kt , dt = 1k e^kt + C é uma função exponencial. Sabemos que a integral de integral0^1 e^2t , dt = 12 e^2t|0^1 = 12e^2 cdot 1 - 12e^2 cdot 0 = 12e^2 - 12 em relação a é:
Aplicando isso, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral0^1 e^-t , dt
Aqui, a função é integral e^-t , dt = -e^-t + C . A integral de integral0^1 e^-t , dt = -e^-t|0^1 = -e^-1 - (-e^0) = -1e + 1 em relação a é:
Portanto:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a terceira integral:
integral0^1 t , dt
Esta é uma função polinomial. A integral de integral t , dt = 12t^2 + C em relação a integral0^1 t , dt = 12t^2|0^1 = 12(1)^2 - 12(0)^2 = 12 - 0 = 12 é:
Então:

Resposta

Juntando todas as integrais calculadas, temos:
integral0^1(e^2 t i+e^-t j+t k) d t = (12e^2 - 12) i + (1 - 1e) j + 12 k

Exercícios relacionados