Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de um vetor. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com integrais de funções vetoriais, que envolvem calcular a integral de cada componente separadamente. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração de funções exponenciais e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em suas componentes individuais. Ou seja, vamos calcular a integral de cada parte do vetor , e separadamente. Assim, temos:
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira integral:
A função é uma função exponencial. Sabemos que a integral de em relação a é:
Aplicando isso, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral0^1 e^-t , dt
Aqui, a função é integral e^-t , dt = -e^-t + C . A integral de integral0^1 e^-t , dt = -e^-t|0^1 = -e^-1 - (-e^0) = -1e + 1 em relação a é:
Portanto:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a terceira integral:
integral0^1 t , dt
Esta é uma função polinomial. A integral de integral t , dt = 12t^2 + C em relação a integral0^1 t , dt = 12t^2|0^1 = 12(1)^2 - 12(0)^2 = 12 - 0 = 12 é:
Então:
Resposta
Juntando todas as integrais calculadas, temos:
integral0^1(e^2 t i+e^-t j+t k) d t = (12e^2 - 12) i + (1 - 1e) j + 12 k