(a) sumn=1^infty n^n(x-3)^n
(b) sumn=0^infty x^2 n+1(-4)^n
© sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1) cdot x^2 n+12 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot(2 n)
(d) sumn=0^infty(-1)^n+1 x^n
(e) sumn=0^infty n(x-1)^2 n3^2 n-1
(f) sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1) cdot x^n2 cdot 4 cdot 6 cdots(2 n)
(g) sumn=2^infty (-1)^n x^nn(ln n)
(h) sumn=1^infty (x+5)^n-1n^2
(i) sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2 n-1(2 n-1)!
(j) sumn=0^infty n!x^n
(k) sumn=0^infty 2^n x^2 n(2 n)!
(1) sumn=0^infty raizn x^n1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n+1)
(m) sumn=1^infty (3-x)^n-1raizn
(n) sumn=1^infty (1-x)^n(n+1) 3^n
(o) sumn=1^infty (-1)^n+1(x-3)^4 nn^1 / n
§ sumn=1^infty x^n arctg n
(q) sumn=1^infty (-1)^n 2^n x^n(n+1)^3
® sumn=1^infty (5^n+5^-n)(x+1)^3 n-2n^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a série infinita:
sumn=1^infty n^n(x-3)^n
Isso faz parte do conteúdo de Séries de Potências na matemática. Para resolver, a gente vai precisar entender como verificar se essa série converge ou diverge para diferentes valores de . Vamos usar o Teste da Razão para analisar a convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge. A ideia é calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Onde é o termo geral da série. Se:
  • : a série converge
  • : a série diverge
  • : o teste é inconclusivo

Passo 3

Vamos identificar o termo geral an = n^n(x-3)^n da nossa série:
an+1 = (n+1)^n+1(x-3)^n+1
Agora, vamos encontrar :

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, vamos calcular:
an+1an = (n+1)^n+1(x-3)^n+1n^n(x-3)^n = (n+1)^n+1n^n cdot (x-3)
Simplificando:
an+1an = (n+1) (1 + 1n)^n (x-3)

Passo 5

Sabemos que:
(1 + 1n)^n to e quando n to infty
Portanto, o limite L = limn to infty (n+1) cdot e cdot |x-3| fica:

Passo 6

Analisando o limite L = infty se |x-3| neq 0 :
Isso porque tende ao infinito e é uma constante positiva. Então, a única situação em que não é infinito é quando , ou seja, .

Passo 7

Segundo o Teste da Razão:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
No nosso caso, para qualquer , então a série diverge para todo diferente de 3.

Passo 8

Vamos verificar o caso especial quando an = n^n(3-3)^n = n^n cdot 0^n = 0 :
sumn=1^infty 0 = 0
Então, a série se torna:
Portanto, a série converge quando .

Resposta

A série converge apenas quando e diverge para qualquer outro valor de .

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