sumn=1^infty 1n!(n+2)=12

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a soma da série infinita:
sumn=1^infty 1n!(n+2) = 12
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e fatoriais. Vamos precisar entender como manipular essas somas e usar algumas propriedades dos fatoriais para chegar ao resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a fração dentro da soma para facilitar a manipulação. Note que:
1n!(n+2) = 1(n+2)n!
Podemos reescrever isso como:
1(n+2)! cdot (n+2)
Mas, para simplificar, vamos manter a forma original e buscar uma maneira de relacionar com séries conhecidas.

Passo 3

Lembre-se que a definição de fatorial é:
n! = n times (n-1) times (n-2) times dots times 1
E que séries envolvendo fatoriais frequentemente se relacionam com a função exponencial, cuja série é:
e^x = sumn=0^infty x^nn!
Vamos tentar conectar nossa série com a série do expoente.

Passo 4

Para isso, vamos fazer uma substituição que nos ajude a expressar nossa soma em termos de 1n!(n+2) = 1(n+2)! cdot (n+1)(n+2) . Observamos que na nossa série, além de temos no denominador. Vamos tentar quebrar isso.
Podemos escrever:
Mas isso complica. Em vez disso, vamos usar o método de integração para simplificar a expressão.

Passo 5

Sabemos que:
1n+2 = integral0^1 x^n+1 dx
Portanto, podemos reescrever nossa soma como:
sumn=1^infty 1n!(n+2) = sumn=1^infty 1n! integral0^1 x^n+1 dx
E como a soma e a integração são operações lineares, podemos trocar a ordem:
integral0^1 sumn=1^infty x^n+1n! dx

Passo 6

Agora, observe que a soma dentro da integral é semelhante à série de sumn=1^infty x^n+1n! = x sumn=1^infty x^nn! = x (e^x - 1) , mas começa em e tem . Vamos ajustar isso:
Aqui, subtraímos 1 porque a série começa em .

Passo 7

Substituindo de volta na integral, temos:
integral0^1 x (e^x - 1) dx
Vamos calcular essa integral separando os termos:
integral0^1 x e^x dx - integral0^1 x dx

Passo 8

Primeiro, calculamos x e^x |0^1 - integral0^1 e^x dx = [e^1 cdot 1 - e^0 cdot 0] - [e^x |0^1] = e - (e - 1) = 1 . Para isso, usamos integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 9

Agora, calculamos integral0^1 x dx = x^22 |0^1 = 12 - 0 = 12 :

Passo 10

Subtraindo os dois resultados:
1 - 12 = 12

Resposta

Portanto,
sumn=1^infty 1n!(n+2) = 12

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