Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a soma da série infinita:
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e fatoriais. Vamos precisar entender como manipular essas somas e usar algumas propriedades dos fatoriais para chegar ao resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a fração dentro da soma para facilitar a manipulação. Note que:
Podemos reescrever isso como:
Mas, para simplificar, vamos manter a forma original e buscar uma maneira de relacionar com séries conhecidas.
Passo 3
Lembre-se que a definição de fatorial é:
E que séries envolvendo fatoriais frequentemente se relacionam com a função exponencial, cuja série é:
Vamos tentar conectar nossa série com a série do expoente.
Passo 4
Para isso, vamos fazer uma substituição que nos ajude a expressar nossa soma em termos de . Observamos que na nossa série, além de temos no denominador. Vamos tentar quebrar isso.
Podemos escrever:
Mas isso complica. Em vez disso, vamos usar o método de integração para simplificar a expressão.
Passo 5
Sabemos que:
Portanto, podemos reescrever nossa soma como:
E como a soma e a integração são operações lineares, podemos trocar a ordem:
Passo 6
Agora, observe que a soma dentro da integral é semelhante à série de , mas começa em e tem . Vamos ajustar isso:
Aqui, subtraímos 1 porque a série começa em .
Passo 7
Substituindo de volta na integral, temos:
Vamos calcular essa integral separando os termos:
Passo 8
Primeiro, calculamos . Para isso, usamos integração por partes, onde: