ln x=ln 2+sumn=1^infty (-1)^n+1(x-2)^nn 2^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema mostra uma expressão para o logaritmo natural de , ou seja, . A gente vai precisar usar a série de Taylor para expandir essa função em torno de . Basicamente, vamos escrever como uma soma infinita de termos que dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. Ela permite que a gente escreva uma função como uma soma de termos envolvendo as derivadas de avaliadas em um ponto específico, que nesse caso é .

Passo 3

A fórmula geral da série de Taylor para ln x = ln a + 1a(x - a) - 12 a^2(x - a)^2 + 13 a^3(x - a)^3 - dots em torno de é:
Aqui, cada termo seguinte alterna de sinal e tem uma potência de .

Passo 4

No nosso caso, ln x = ln 2 + 12(x - 2) - 12 cdot 2^2(x - 2)^2 + 13 cdot 2^3(x - 2)^3 - dots . Então, substituindo na fórmula, temos:

Passo 5

Observando os termos, podemos notar que a série segue o padrão:
ln x = ln 2 + sumn=1^infty (-1)^n+1(x - 2)^nn cdot 2^n
Cada termo da soma tem um numerador que alterna de sinal e envolve , e um denominador que tem vezes .

Resposta

Portanto, a expressão para ln x = ln 2 + sumn=1^infty (-1)^n+1(x - 2)^nn cdot 2^n é:

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