Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema mostra uma expressão para o logaritmo natural de
, ou seja,
. A gente vai precisar usar a série de Taylor para expandir essa função em torno de
. Basicamente, vamos escrever
como uma soma infinita de termos que dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. Ela permite que a gente escreva uma função
como uma soma de termos envolvendo as derivadas de
avaliadas em um ponto específico, que nesse caso é
.
Passo 3
A fórmula geral da série de Taylor para
em torno de
é:
Aqui, cada termo seguinte alterna de sinal e tem uma potência de
.
Passo 4
No nosso caso,
. Então, substituindo na fórmula, temos:
Passo 5
Observando os termos, podemos notar que a série segue o padrão:
Cada termo da soma tem um numerador que alterna de sinal e envolve
, e um denominador que tem
vezes
.
Resposta
Portanto, a expressão para
é: