Calcule a integral definida. 36. integral0^1(t^2 i+t^3 j) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de uma função vetorial, que nesse caso é . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e manipulação de vetores. Para resolver, vamos integrar cada componente da função vetorial separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma integral de uma função vetorial, podemos integrar cada componente individualmente. Ou seja, se temos , isso é igual a .

Passo 3

No nosso caso, as funções são e . Vamos integrar cada uma delas de 0 a 1.

Passo 4

Vamos começar integrando integral0^1 t^2 dt :
integral t^2 dt = t^33
A integral de t^33 |0^1 = 1^33 - 0^33 = 13 - 0 = 13 em relação a é . Então, aplicando isso:
Agora, avaliamos de 0 a 1:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral0^1 t^3 dt :
integral t^3 dt = t^44
Usando a mesma regra da potência:
t^44 |0^1 = 1^44 - 0^44 = 14 - 0 = 14
Avaliando de 0 a 1:

Passo 6

Agora que temos as integrais de cada componente, podemos montar o vetor resultante:
integral0^1(t^2 i+t^3 j) dt = ( 13 ) i + ( 14 ) j

Resposta

A integral definida é .

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