Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x) = x^2 / (1 - 2x)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma representação em série de potências para a função
e também determinar o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e a série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. A série geométrica básica é:
Aqui, é a razão da série. No nosso caso, queremos algo parecido, mas com o denominador ao quadrado e um termo no numerador.

Passo 3

Vamos manipular a função para que ela se pareça com a série geométrica. Primeiro, note que:
pode ser relacionada à derivada da série geométrica. Sabemos que:
Substituindo por , temos:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar essa série por para obter a série de :
Simplificando os termos, ficamos com:

Passo 5

Vamos ajustar o índice da soma para facilitar a expressão. Vamos fazer uma mudança de variável: deixe . Então, quando , , e assim por diante. Substituindo, obtemos:
Podemos reescrever isso como:

Passo 6

Para escrever a série de uma forma mais convencional, podemos ajustar os índices novamente:

Passo 7

Finalmente, a representação em série de potências para é:
ou, ajustando o índice:

Passo 8

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então:
Portanto, o intervalo de convergência é .

Resposta

A representação em série de potências para a função é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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