Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma representação em série de potências para a função
e também determinar o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e a série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. A série geométrica básica é:
Aqui,
é a razão da série. No nosso caso, queremos algo parecido, mas com o denominador ao quadrado e um termo
no numerador.
Passo 3
Vamos manipular a função
para que ela se pareça com a série geométrica. Primeiro, note que:
pode ser relacionada à derivada da série geométrica. Sabemos que:
Substituindo
por
, temos:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar essa série por
para obter a série de
:
Simplificando os termos, ficamos com:
Passo 5
Vamos ajustar o índice da soma para facilitar a expressão. Vamos fazer uma mudança de variável: deixe
. Então, quando
,
, e assim por diante. Substituindo, obtemos:
Podemos reescrever isso como:
Passo 6
Para escrever a série de uma forma mais convencional, podemos ajustar os índices novamente:
Passo 7
Finalmente, a representação em série de potências para
é:
ou, ajustando o índice:
Passo 8
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série geométrica converge quando
. No nosso caso,
, então:
Portanto, o intervalo de convergência é
.
Resposta
A representação em série de potências para a função
é:
E o intervalo de convergência dessa série é
.