Resolva o problema de valor inicial vetorial para
por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração. 47.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial vetorial. Isso significa que precisamos encontrar uma função vetorial
que satisfaça uma equação diferencial e respeite certas condições iniciais. A equação que temos é
, e as condições iniciais são
e
. Vamos resolver isso passo a passo usando integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial de segunda ordem. A equação
nos diz que a segunda derivada de
em relação a
é igual a um vetor que tem uma componente constante na direção de
e uma componente que cresce exponencialmente na direção de
. Para encontrar
, precisamos integrar essa equação duas vezes.
Passo 3
Vamos integrar a equação
em relação a
para encontrar a primeira derivada,
.
Aqui,
é uma constante vetorial de integração que iremos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, aplicamos a condição inicial para a primeira derivada:
. Substituindo
na expressão de
:
Isso nos mostra que
. Portanto, a primeira derivada é:
Passo 5
Agora, vamos integrar novamente para encontrar a função
:
Aqui,
é outra constante vetorial de integração que vamos determinar usando a condição inicial para
.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
na expressão de
:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão de
:
Podemos simplificar agrupando os termos semelhantes:
Resposta
A solução do problema é