Resolva o problema de valor inicial vetorial para y(t) por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração. 47. y''(t) i + e^t j, y(0)=2 i, y'(0)=j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial vetorial. Isso significa que precisamos encontrar uma função vetorial y(t) que satisfaça uma equação diferencial e respeite certas condições iniciais. A equação que temos é , e as condições iniciais são e . Vamos resolver isso passo a passo usando integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial de segunda ordem. A equação nos diz que a segunda derivada de y(t) em relação a t é igual a um vetor que tem uma componente constante na direção de i e uma componente que cresce exponencialmente na direção de j. Para encontrar y(t), precisamos integrar essa equação duas vezes.

Passo 3

Vamos integrar a equação em relação a t para encontrar a primeira derivada, .
Aqui, é uma constante vetorial de integração que iremos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, aplicamos a condição inicial para a primeira derivada: . Substituindo na expressão de :
Isso nos mostra que . Portanto, a primeira derivada é:

Passo 5

Agora, vamos integrar novamente para encontrar a função y(t):
Aqui, é outra constante vetorial de integração que vamos determinar usando a condição inicial para .

Passo 6

Aplicamos a condição inicial . Substituindo na expressão de y(t):
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, substituímos na expressão de y(t):
Podemos simplificar agrupando os termos semelhantes:

Resposta

A solução do problema é

Exercícios relacionados