Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Fala! Então, a gente tem que encontrar uma representação em série de potências para a função e também descobrir para quais valores de essa série converge. Vamos usar conhecimentos de séries de potências, especificamente a série de Taylor (ou Maclaurin) para a função arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências da função . A série de Taylor de centrada em 0 é:
Essa série é válida para .
Passo 3
Agora, queremos a série para . Para isso, basta substituir por na série que já conhecemos:
Simplificando, temos:
Passo 4
Para encontrar o intervalo de convergência, observamos que a série original de converge para . Como substituímos por , precisamos que:
Então, o intervalo de convergência da série para é .