Calcule a integral definida. 38. integral-3^3lang<=(3-t)^3 / 2,(3+t)^3 / 2, 1rang<= d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida que envolve vetores. O enunciado pede para calcular a integral de no intervalo de até . Isso está relacionado ao cálculo de integrais de funções vetoriais, onde a gente integra cada componente do vetor separadamente. Para fazer isso, vamos precisar conhecer as técnicas de integração, como substituição simples.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira componente da integral: integral-3^3 (3 - t)^3/2 , dt = integral6^0 u^3/2 cdot (-du) = integral0^6 u^3/2 , du .
Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar a integral:
  • Substituição: Seja integral u^n , du = u^n+1n+1 + C , então integral0^6 u^3/2 , du = [ u^5/25/2 ]0^6 = 25 [ u^5/2 ]0^6 = 25 (6^5/2 - 0) .
  • Mudança dos limites de integração:
    • Quando 6^5/2 = (6^1/2)^5 = (raiz6)^5 = 6^2 cdot raiz6 = 36raiz6 , 25 times 36raiz6 = 725 raiz6 .
    • Quando , .
Agora, reescrevemos a integral:
Para resolver , usamos a regra de integração de potências:
onde .
Aplicando isso:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda componente da integral: integral-3^3 (3 + t)^3/2 , dt = integral0^6 u^3/2 , du .
Fazemos uma substituição semelhante:
  • Substituição: Seja integral0^6 u^3/2 , du = 25 times 36raiz6 = 725 raiz6 , então .
  • Mudança dos limites de integração:
    • Quando , .
    • Quando , .
Reescrevendo a integral:
Já sabemos como resolver essa integral:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a terceira componente da integral: integral-3^3 1 , dt = [t]-3^3 = 3 - (-3) = 6 .
Essa é uma integral bem direta, pois estamos integrando uma constante:

Resposta

Portanto, a integral definida é igual a:
lang<=, 725 raiz6,; 725 raiz6,; 6, rang<=

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