Calcule a integral definida. 38.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida que envolve vetores. O enunciado pede para calcular a integral de
no intervalo de
até
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais de funções vetoriais, onde a gente integra cada componente do vetor separadamente. Para fazer isso, vamos precisar conhecer as técnicas de integração, como substituição simples.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira componente da integral:
.
Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar a integral:
- Substituição: Seja
, então . - Mudança dos limites de integração:
- Quando
, . - Quando
, .
- Quando
Agora, reescrevemos a integral:
Para resolver
, usamos a regra de integração de potências:
onde
.
Aplicando isso:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda componente da integral:
.
Fazemos uma substituição semelhante:
- Substituição: Seja
, então . - Mudança dos limites de integração:
- Quando
, . - Quando
, .
- Quando
Reescrevendo a integral:
Já sabemos como resolver essa integral:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a terceira componente da integral:
.
Essa é uma integral bem direta, pois estamos integrando uma constante:
Resposta
Portanto, a integral definida é igual a: