Esboce as curvas de nível das seguintes funções:
c) f(x, y) = 2x - 3y, níveis c = 6, c = 10 e c = 12

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A questão quer que a gente esboce as curvas de nível da função para os valores , e . Curvas de nível são as linhas onde a função assume um valor constante, nesse caso, os valores de . Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e entender como representar essas equações no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma curva de nível é simplesmente o conjunto de pontos que satisfazem a equação . Então, vamos substituir por e igualar a :

Passo 3

Agora, precisamos rearranjar essa equação para isolar , assim fica mais fácil de desenhar as linhas no gráfico. Vamos resolver para :
Isso é a equação da linha reta, onde o coeficiente de ( ) é a inclinação da linha e é o ponto onde a linha corta o eixo .

Passo 4

Vamos aplicar isso para cada valor de :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora, com as equações das linhas em mãos, podemos visualizar cada curva de nível:
  • Curva de nível para : É uma linha reta com inclinação e intercepta o eixo em .
  • Curva de nível para : Também tem inclinação , mas intercepta o eixo em .
  • Curva de nível para : Mantém a mesma inclinação e intercepta o eixo em .
Isso significa que todas as três curvas são paralelas entre si, porque têm a mesma inclinação, mas estão em diferentes posições no plano devido aos diferentes interceptos.

Resposta

As curvas de nível da função são linhas retas paralelas com a equação geral . Especificamente:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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