Esboce as curvas de nível das seguintes funções:
c)
, níveis
e
c)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A questão quer que a gente esboce as curvas de nível da função
para os valores
,
e
. Curvas de nível são as linhas onde a função assume um valor constante, nesse caso, os valores de
. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e entender como representar essas equações no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma curva de nível é simplesmente o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
. Então, vamos substituir
por
e igualar a
:
Passo 3
Agora, precisamos rearranjar essa equação para isolar
, assim fica mais fácil de desenhar as linhas no gráfico. Vamos resolver para
:
Isso é a equação da linha reta, onde o coeficiente de
(
) é a inclinação da linha e
é o ponto onde a linha corta o eixo
.
Passo 4
Vamos aplicar isso para cada valor de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, com as equações das linhas em mãos, podemos visualizar cada curva de nível:
-
Curva de nível para
: É uma linha reta com inclinação e intercepta o eixo em . -
Curva de nível para
: Também tem inclinação , mas intercepta o eixo em . -
Curva de nível para
: Mantém a mesma inclinação e intercepta o eixo em .
Isso significa que todas as três curvas são paralelas entre si, porque têm a mesma inclinação, mas estão em diferentes posições no plano devido aos diferentes interceptos.
Resposta
As curvas de nível da função
são linhas retas paralelas com a equação geral
. Especificamente:
- Para
: - Para
: - Para
: