Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=0^infty n!2 cdot 5 cdot 8 cdot ldots cdot(3 n+2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente testar se a série sumn=0^infty n!2 cdot 5 cdot 8 cdot ldots cdot(3n+2) converge ou diverge. Pra isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta da Análise de Séries pra determinar o comportamento de séries infinitas. Esse teste nos ajuda a ver se a série soma a um número finito ou não, analisando a razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a expressão geral da nossa série. O termo geral é n!2 cdot 5 cdot 8 cdot ldots cdot(3n+2). Aí, pra aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual, ou seja, limn to infty | an+1an |.

Passo 3

Vamos calcular essa razão:
an+1an = (n+1)!2 cdot 5 cdot 8 cdot ldots cdot(3(n+1)+2) times 2 cdot 5 cdot 8 cdot ldots cdot(3n+2)n!
Simplificando, temos:
an+1an = (n+1)3(n+1)+2 = n+13n+5

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty n+13n+5 = limn to infty 1 + 1n3 + 5n = 13
Segundo o Teste da Razão:
  • Se o limite L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Aqui, L = 13 < 1, então a série converge.

Resposta

A série sumn=0^infty n!2 cdot 5 cdot 8 cdot ldots cdot(3n+2) converge.

Exercícios relacionados