3.2. SÉRIE DE TAYLOR & SÉRIE MACLAURIN
- Represente as seguintes funções em séries de potências de
:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa lista de funções e representá-las como séries de potências de
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve Séries de Taylor e Séries de Maclaurin, que são maneiras de expressar funções como somas infinitas de termos com potências de
. Para cada função, vamos identificar uma série conhecida e ajustar conforme necessário para chegar na representação em série de potências.
Passo 2
(a)
Primeiro, sabemos que a série de Maclaurin para
é:
Agora, substituímos
por
:
Passo 3
(b)
Sabemos que a série de Maclaurin para
é:
Multiplicando por
:
Podemos reescrever como:
Passo 4
©
Vamos reescrever
como
. A série de Maclaurin para
é:
Multiplicando por 3:
Passo 5
(d)
A série de Maclaurin para
é:
Aqui, substituímos
por
:
Passo 6
(e)
Usamos a série de
novamente:
Multiplicando por
:
Passo 7
(f)
Usamos a identidade trigonométrica:
Sabemos que:
Então:
Passo 8
(g)
Reescrevemos
como
. A série de Maclaurin para
é:
Multiplicando por
:
Passo 9
(h)
Usamos a identidade trigonométrica:
Sabemos que:
Então:
Passo 10
(i)
A série de Maclaurin para
é:
Passo 11
(j)
Usamos a série de
e substituímos
por
:
Passo 12
(k)
A série de Maclaurin para
é:
Passo 13
(l)
Usamos a série de
e substituímos
por
:
Resposta
Representações das funções em séries de potências de
:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)