3.2. SÉRIE DE TAYLOR & SÉRIE MACLAURIN
  1. Represente as seguintes funções em séries de potências de x :
    (a) f(x) = e^(-x^2)
    (b) f(x) = x sen(x)
    © f(x) = 3^(x + 1)
    (d) f(x) = ln(1 + x^2)
    (e) f(x) = x^2 sen(x)
    (f) f(x) = cos^2(x)
    (g) f(x)=e^(4-x)
    (h) f(x) = sen^2 x
    (i) f(x) = senh(x)
    (j) f(x) = sen(4x)
    (k) f(x) = cosh(x)
    (l) f(x) = cos(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa lista de funções e representá-las como séries de potências de . O conteúdo que vamos usar aqui envolve Séries de Taylor e Séries de Maclaurin, que são maneiras de expressar funções como somas infinitas de termos com potências de . Para cada função, vamos identificar uma série conhecida e ajustar conforme necessário para chegar na representação em série de potências.

Passo 2

(a)
Primeiro, sabemos que a série de Maclaurin para é:
Agora, substituímos por :

Passo 3

(b)
Sabemos que a série de Maclaurin para é:
Multiplicando por :
Podemos reescrever como:

Passo 4

©
Vamos reescrever como . A série de Maclaurin para é:
Multiplicando por 3:

Passo 5

(d)
A série de Maclaurin para é:
Aqui, substituímos por :

Passo 6

(e)
Usamos a série de novamente:
Multiplicando por :

Passo 7

(f)
Usamos a identidade trigonométrica:
Sabemos que:
Então:

Passo 8

(g)
Reescrevemos como . A série de Maclaurin para é:
Multiplicando por :

Passo 9

(h)
Usamos a identidade trigonométrica:
Sabemos que:
Então:

Passo 10

(i)
A série de Maclaurin para é:

Passo 11

(j)
Usamos a série de e substituímos por :

Passo 12

(k)
A série de Maclaurin para é:

Passo 13

(l)
Usamos a série de e substituímos por :

Resposta

Representações das funções em séries de potências de :
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)

Exercícios relacionados