Calcule a integral dupla integral duplaR(sen x+cos y) d A, onde R=(x, y) ; 0 <= x <= pi, pi <= y <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral dupla integral duplaR(sen x+cos y) , dA, onde a região R é definida por 0 <= x <= pi e pi <= y <= 2pi. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais duplas, que serve para encontrar o volume sob uma superfície sobre uma determinada região. Para isso, vamos precisar saber como separar a integral em integrais simples e usar as propriedades das funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar em relação a y primeiro e depois em relação a x:
integral duplaR(sen x+cos y) , dA = integral0^pi integralpi^2pi (sen x + cos y) , dy , dx

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral0^pi ( integralpi^2pi sen x , dy + integralpi^2pi cos y , dy ) dx

Passo 4

Primeiro, resolvemos a integral de sen x em relação a y. Como sen x não depende de y, ela pode ser tratada como uma constante:
integralpi^2pi sen x , dy = sen x cdot (2pi - pi) = sen x cdot pi

Passo 5

Agora, resolvemos a integral de cos y em relação a y:
integralpi^2pi cos y , dy = sen y |pi^2pi = sen(2pi) - sen(pi) = 0 - 0 = 0

Passo 6

Substituímos os resultados obtidos na integral original:
integral0^pi ( sen x cdot pi + 0 ) dx = pi integral0^pi sen x , dx

Passo 7

Agora, calculamos a integral de sen x em relação a x:
integral0^pi sen x , dx = -cos x |0^pi = -cos(pi) + cos(0) = -(-1) + 1 = 2

Passo 8

Multiplicamos o resultado pela constante pi:
pi cdot 2 = 2pi

Resposta

O valor da integral dupla é 2pi.

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