Calcule a integral definida.
© integral0^3(3 x^2-4 x+1) d x;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. O exercício pede para calcular uma integral definida, que é uma maneira de encontrar a área sob uma curva entre dois pontos. A função que vamos integrar é e os limites de integração são de a . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração e como aplicar os limites para encontrar o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular a integral definida de uma função, a gente precisa encontrar a antiderivada ou primitiva da função. A antiderivada de uma função é outra função tal que .

Passo 3

Vamos encontrar a antiderivada de cada termo da função integral 3x^2 , dx = 3 cdot x^33 = x^3 :
  1. Antiderivada de integral -4x , dx = -4 cdot x^22 = -2x^2 :
    integral 1 , dx = x
    Aqui usamos a regra de potência, onde .
  2. Antiderivada de :
    Novamente, aplicamos a regra de potência.
  3. Antiderivada de :
    A integral de uma constante é .

Passo 4

Agora, somamos todas as antiderivadas encontradas:
F(x) = x^3 - 2x^2 + x
Essa é a antiderivada da função .

Passo 5

Para calcular a integral definida de integral0^3 (3x^2 - 4x + 1) dx = F(3) - F(0) a , vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração e subtrair:

Passo 6

Vamos calcular F(3) = (3)^3 - 2(3)^2 + 3 = 27 - 18 + 3 = 12 e F(0) = (0)^3 - 2(0)^2 + 0 = 0 - 0 + 0 = 0 :
  1. Calculando :
  2. Calculando :

Passo 7

Subtraindo os valores obtidos:
F(3) - F(0) = 12 - 0 = 12

Resposta

A integral definida é igual a 12.

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