Calcule a integral definida.
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. O exercício pede para calcular uma integral definida, que é uma maneira de encontrar a área sob uma curva entre dois pontos. A função que vamos integrar é
e os limites de integração são de
a
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração e como aplicar os limites para encontrar o valor final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular a integral definida de uma função, a gente precisa encontrar a antiderivada ou primitiva da função. A antiderivada de uma função
é outra função
tal que
.
Passo 3
Vamos encontrar a antiderivada de cada termo da função
:
-
Antiderivada de
: Aqui usamos a regra de potência, onde. -
Antiderivada de
: Novamente, aplicamos a regra de potência. -
Antiderivada de
: A integral de uma constanteé .
Passo 4
Agora, somamos todas as antiderivadas encontradas:
Essa é a antiderivada da função
.
Passo 5
Para calcular a integral definida de
a
, vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração e subtrair:
Passo 6
Vamos calcular
e
:
-
Calculando
: -
Calculando
:
Passo 7
Subtraindo os valores obtidos:
Resposta
A integral definida
é igual a 12.
Exercícios relacionados
Nos Problemas 9 e 10, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento das soluçöes quando
.
,
Mostre que a função
é contínua na origem.
Nos exercícios de 37 a 41, use a definição sobre área liquida com sinal tomando
como extremo direito de cada subintervalo para encontrar a área liquida com sinal entre a curva
e o intervalo especificado.
$$
f(x)=x^{2}-1 ;[0,2]$$. Confira sua resposta com um argumento geométrico simples.
(*) Uma partícula move-se ao longo de um eixo coordenado de tal forma que sua velocidade no instante
é
.
(a) encontre o deslocamento da partícula no intervalo de tempo .
(a) encontre o deslocamento da partícula no intervalo de tempo