Nos exercícios de 37 a 41, use a definição sobre área liquida com sinal tomando
como extremo direito de cada subintervalo para encontrar a área liquida com sinal entre a curva
e o intervalo especificado.
$$
f(x)=x^{2}-1 ;[0,2]$$. Confira sua resposta com um argumento geométrico simples.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que precisamos fazer. Temos a função
e queremos encontrar a área líquida com sinal entre essa curva e o intervalo
. Para isso, vamos usar a definição de área líquida com sinal, dividindo o intervalo em subintervalos e usando o extremo direito de cada subintervalo (
) para calcular as áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a área líquida com sinal. Basicamente, ela considera que áreas acima do eixo
são positivas e abaixo são negativas. Então, vamos dividir o intervalo
em, por exemplo, 2 subintervalos iguais:
e
.
Passo 3
Agora, calculamos os pontos
, que são os extremos direitos de cada subintervalo. Para nossos subintervalos:
- Primeiro subintervalo
: - Segundo subintervalo
:
Passo 4
Em seguida, avaliamos a função
nesses pontos:
Passo 5
Agora, calculamos a área de cada subintervalo multiplicando o valor da função pela largura do subintervalo (
). Como dividimos
em 2 subintervalos, cada
.
- Área do primeiro subintervalo:
- Área do segundo subintervalo:
Passo 6
Somamos as áreas obtidas, lembrando que áreas abaixo do eixo são negativas. No nosso caso, apenas o segundo subintervalo está acima do eixo, então:
Passo 7
Porém, isso não leva em conta a parte da função que está abaixo do eixo entre
e
. Para uma análise mais precisa, vamos calcular a integral definida de
a
:
Isso confirma que a área líquida com sinal é
.
Resposta
A área líquida com sinal entre a curva
e o intervalo
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral definida.
© ;
©
Nos Problemas 9 e 10, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento das soluçöes quando
.
,
(*) Uma partícula move-se ao longo de um eixo coordenado de tal forma que sua velocidade no instante
é
.
(a) encontre o deslocamento da partícula no intervalo de tempo .
(a) encontre o deslocamento da partícula no intervalo de tempo
Seja
. Determine
(b)
(b)