Nos exercícios de 37 a 41, use a definição sobre área liquida com sinal tomando x_k* como extremo direito de cada subintervalo para encontrar a área liquida com sinal entre a curva y = f(x) e o intervalo especificado.
$$
f(x)=x^{2}-1 ;[0,2]$$. Confira sua resposta com um argumento geométrico simples.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que precisamos fazer. Temos a função e queremos encontrar a área líquida com sinal entre essa curva e o intervalo . Para isso, vamos usar a definição de área líquida com sinal, dividindo o intervalo em subintervalos e usando o extremo direito de cada subintervalo ( ) para calcular as áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a área líquida com sinal. Basicamente, ela considera que áreas acima do eixo são positivas e abaixo são negativas. Então, vamos dividir o intervalo em, por exemplo, 2 subintervalos iguais: e .

Passo 3

Agora, calculamos os pontos , que são os extremos direitos de cada subintervalo. Para nossos subintervalos:
  • Primeiro subintervalo :
  • Segundo subintervalo :

Passo 4

Em seguida, avaliamos a função nesses pontos:

Passo 5

Agora, calculamos a área de cada subintervalo multiplicando o valor da função pela largura do subintervalo ( ). Como dividimos em 2 subintervalos, cada .
  • Área do primeiro subintervalo:
  • Área do segundo subintervalo:

Passo 6

Somamos as áreas obtidas, lembrando que áreas abaixo do eixo são negativas. No nosso caso, apenas o segundo subintervalo está acima do eixo, então:
Áí

Passo 7

Porém, isso não leva em conta a parte da função que está abaixo do eixo entre e . Para uma análise mais precisa, vamos calcular a integral definida de a :
Isso confirma que a área líquida com sinal é .

Resposta

A área líquida com sinal entre a curva e o intervalo é .

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