Nos Problemas 9 e 10, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento das soluçöes quando . ,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um problema de valor inicial para um sistema de equações diferenciais e depois descrever como a solução se comporta quando tende ao infinito. Aqui, estamos lidando com sistemas lineares de equações diferenciais e vamos precisar usar autovalores e autovetores para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações diferenciais de forma matricial:
com a condição inicial:
Passo 3
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores () da matriz dos coeficientes. Isso é feito resolvendo o determinante da matriz igual a zero:
Passo 4
Calculando o determinante:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática para :
Então, os autovalores são e .
Passo 6
Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos usar .
Substituindo na equação :
[
]
Resolvendo a primeira equação:
Multiplicando numerador e denominador por :
Podemos escolher , então .
Portanto, o autovetor correspondente a é .
Passo 7
A solução geral do sistema pode ser escrita usando os autovalores e autovetores encontrados. Como os autovalores são complexos, a solução será da forma:
onde é a parte real, é a parte imaginária do autovalor, e está relacionado ao autovetor.
Para , temos e .
Passo 8
Assim, a solução geral fica:
Simplificando os vetores e reorganizando:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial :
Isso implica que e .
Passo 10
Substituindo os valores de e na solução geral:
Simplificando:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Quando , o fator tende a zero, fazendo com que também tende a zero. Portanto, as soluções do sistema decaem para o ponto de equilíbrio conforme o tempo aumenta.