Nos Problemas 9 e 10, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento das soluçöes quando t -> infinito.
x' = [[1, -5], [1, -3]] * x,
x(0) = (1, 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um problema de valor inicial para um sistema de equações diferenciais e depois descrever como a solução se comporta quando tende ao infinito. Aqui, estamos lidando com sistemas lineares de equações diferenciais e vamos precisar usar autovalores e autovetores para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações diferenciais de forma matricial:
com a condição inicial:

Passo 3

Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores ( ) da matriz dos coeficientes. Isso é feito resolvendo o determinante da matriz igual a zero:

Passo 4

Calculando o determinante:
Expandindo:
Simplificando:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática para :
Então, os autovalores são e .

Passo 6

Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos usar .
Substituindo na equação :

[



]
Resolvendo a primeira equação:
Multiplicando numerador e denominador por :
Podemos escolher , então .
Portanto, o autovetor correspondente a é .

Passo 7

A solução geral do sistema pode ser escrita usando os autovalores e autovetores encontrados. Como os autovalores são complexos, a solução será da forma:
onde é a parte real, é a parte imaginária do autovalor, e está relacionado ao autovetor.
Para , temos e .

Passo 8

Assim, a solução geral fica:
Simplificando os vetores e reorganizando:

Passo 9

Aplicamos a condição inicial :
Isso implica que e .

Passo 10

Substituindo os valores de e na solução geral:
Simplificando:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Quando , o fator tende a zero, fazendo com que também tende a zero. Portanto, as soluções do sistema decaem para o ponto de equilíbrio conforme o tempo aumenta.

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