Mostre que a função
f(x, y) = { x^2 + y^2, se x + y pertence a Q; 0, se x + y não pertence a Q }
é contínua na origem.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , definida de forma diferente dependendo se é um número racional ou não. O objetivo é mostrar que essa função é contínua na origem, ou seja, no ponto .

Passo 2

Para provar que a função é contínua na origem, precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto. Em termos matemáticos, queremos mostrar que:
Sabemos que porque , que é racional.

Passo 3

Vamos analisar o limite de quando se aproxima de . A função tem duas definições:
  • Se é racional, então .
  • Se não é racional, então .
Vamos considerar o valor absoluto de :
  • Se é racional: .
  • Se não é racional: .
Isso significa que, independentemente de ser racional ou não, .

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de quando se aproxima de . Sabemos que:
Portanto, está sempre limitado por uma quantidade que tende a zero. Pelo critério do sanduíche (ou teorema do aperto), isso implica que:

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de é igual a , concluímos que a função é contínua na origem.

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