Mostre que a função
é contínua na origem.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, definida de forma diferente dependendo se
é um número racional ou não. O objetivo é mostrar que essa função é contínua na origem, ou seja, no ponto
.
Passo 2
Para provar que a função é contínua na origem, precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto. Em termos matemáticos, queremos mostrar que:
Sabemos que
porque
, que é racional.
Passo 3
Vamos analisar o limite de
quando
se aproxima de
. A função tem duas definições:
- Se
é racional, então . - Se
não é racional, então .
Vamos considerar o valor absoluto de
:
- Se
é racional: . - Se
não é racional: .
Isso significa que, independentemente de
ser racional ou não,
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite de
quando
se aproxima de
. Sabemos que:
Portanto,
está sempre limitado por uma quantidade que tende a zero. Pelo critério do sanduíche (ou teorema do aperto), isso implica que:
Resposta
Como o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, concluímos que a função
é contínua na origem.
Exercícios relacionados
Mostre que a função
não é contínua.
Verifique se a função
é contínua em
. Se for, tente provar por usando
e
.
Nos Problemas 9 e 10, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento das soluçöes quando
.
,
Calcule a integral definida.
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