(*) Uma partícula move-se ao longo de um eixo coordenado de tal forma que sua velocidade no instante t é v(t) = t^2 - 2 t m/s.
(a) encontre o deslocamento da partícula no intervalo de tempo 0 <= t <= 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que está se movendo ao longo de um eixo, e a velocidade dela em qualquer instante de tempo é dada por metros por segundo. A pergunta é pra gente descobrir qual foi o deslocamento dessa partícula no intervalo de tempo de até segundos. Para resolver isso, vamos usar o conceito de que o deslocamento é a área sob o gráfico da velocidade em relação ao tempo, ou seja, vamos integrar a função de velocidade nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o deslocamento ( ) é calculado pela integral da velocidade em relação ao tempo. A fórmula que vamos usar é:
Onde:
  • é o deslocamento,
  • é a função de velocidade,
  • e são os limites de tempo, no nosso caso, e .

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula. Nossa função de velocidade é , e os limites de integração são de a . Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral completa fica:

Passo 5

Vamos agora avaliar essa expressão nos limites de e :
Para :
Para :

Passo 6

Subtraindo os valores encontrados:

Resposta

O deslocamento da partícula no intervalo de tempo de 0 a 3 segundos é 0 metros.

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