Calcule a integral definida de f(x) = x e^-x de 0 a infty.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida da função de a . Esse problema está na área do cálculo, mais especificamente no cálculo de integrais. Para resolver, vamos usar uma técnica chamada integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto da derivada e que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Então, precisamos identificar quais partes da nossa função serão e .

Passo 3

Vamos escolher:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^-x dx Rightarrow v = -e^-x
Escolhemos porque a derivada de é simples ( ), e integrar é direto ( ).

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x e^-x dx = uv - integral v , du = -x e^-x - integral (-e^-x) dx
Simplificando:
integral x e^-x dx = -x e^-x + integral e^-x dx

Passo 5

A integral que sobrou agora é simples:
integral e^-x dx = -e^-x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral x e^-x dx = -x e^-x - e^-x + C
Ou seja:
integral x e^-x dx = -e^-x(x + 1) + C

Passo 7

Agora, como a questão pede uma integral definida de [ -e^-x(x + 1) ]0^infty a , vamos aplicar os limites de integração na expressão que encontramos:

Passo 8

Vamos calcular o limite quando limx to infty -e^-x(x + 1) = 0 tende ao infinito:
Isso porque decai mais rápido que cresce, então o produto tende a zero.

Passo 9

Agora, substituímos - e^0(0 + 1) = -1 na expressão:

Passo 10

Finalmente, subtraímos os valores:
0 - (-1) = 1

Resposta

A integral definida de de a é igual a 1.

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