Calcule a integral definida de f(x) = 1x^2 de 1 a infty.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de 1 até o infinito. Para isso, vamos usar o conceito de integrais impróprias, já que o limite superior da integral é o infinito.

Passo 2

Como a integral vai até o infinito, ela é chamada de integral imprópria. Para resolver, reescrevemos a integral com um limite finito integral1^infty 1x^2 , dx = limb to infty integral1^b 1x^2 , dx que tende ao infinito:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (para n neq -1) . Lembre-se que:
integral 1x^2 , dx = integral x^-2 , dx = x^-1-1 + C = -1x + C
Aqui, , então:

Passo 4

Com a antiderivada, avaliamos a integral de 1 até integral1^b 1x^2 , dx = [ -1x ]1^b = -1b - ( -11 ) = -1b + 1 :

Passo 5

Agora, aplicamos o limite quando limb to infty ( -1b + 1 ) = 0 + 1 = 1 tende ao infinito:

Resposta

A integral definida de de 1 até infinito é igual a 1.

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