Calcule a integral definida.
(i) integral1^2(1+2 y)^2 d y

Passo 1

Na questão, precisamos calcular a integral definida de no intervalo de a . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções polinomiais. Para resolver isso, vamos expandir a expressão e integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o integrando (1 + 2y)^2 = 1^2 + 2 cdot 1 cdot 2y + (2y)^2 = 1 + 4y + 4y^2 . Usando a fórmula :

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com a expressão expandida:
integral1^2 (1 + 4y + 4y^2) , dy

Passo 4

Vamos separar a integral em partes menores para facilitar a resolução:
integral1^2 1 , dy + integral1^2 4y , dy + integral1^2 4y^2 , dy

Passo 5

Agora, calculamos cada uma dessas integrais separadamente:
  1. Integral de 1:
    integral1^2 1 , dy = y |1^2 = 2 - 1 = 1
  2. Integral de integral1^2 4y , dy = 4 cdot y^22 |1^2 = 2y^2 |1^2 = 2(4) - 2(1) = 8 - 2 = 6 :
    integral1^2 4y^2 , dy = 4 cdot y^33 |1^2 = 43y^3 |1^2 = 43(8) - 43(1) = 323 - 43 = 283
  3. Integral de :

Passo 6

Agora, somamos os resultados das integrais:
1 + 6 + 283 = 33 + 183 + 283 = 493

Resposta

O valor da integral definida é .

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