[Exercício sobre derivada direcional] Calcule
, em que
e
é o versor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
, que é o versor de
. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função e normalizar o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção específica nos dá a taxa de variação da função nessa direção. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função
e do vetor unitário na direção desejada.
Passo 3
Vamos começar encontrando o vetor unitário
na direção de
. Para isso, calculamos o comprimento desse vetor:
Então, o vetor unitário é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
Portanto, o gradiente é:
Passo 5
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 6
Por fim, a derivada direcional é o ponto em que o gradiente é “projetado” na direção do vetor unitário
. Isso é feito calculando o produto escalar entre o gradiente e
:
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.
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Calcule a integral definida:
Seja
. Determine: ©
.
Obtenha o limite:
Verifique se é verdadeiro ou falso. JUSTIFIQUE sua resposta.
Existe um função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, tais que
e
.
Existe um função