[Exercício sobre derivada direcional] Calcule partial fpartial u(x0, y0), em que
f(x, y)=x^2-3 y^2,(x0, y0)=(1,2) e u é o versor de (2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional de no ponto na direção do vetor , que é o versor de . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função e normalizar o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção específica nos dá a taxa de variação da função nessa direção. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função e do vetor unitário na direção desejada.

Passo 3

Vamos começar encontrando o vetor unitário | u | = raiz2^2 + 1^2 = raiz4 + 1 = raiz5 na direção de u = ( 2raiz5, 1raiz5 ) . Para isso, calculamos o comprimento desse vetor:
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente da função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de partial fpartial x = 2x em relação a partial fpartial y = -6y e nabla f = (2x, -6y) :
Calculando as derivadas:
Portanto, o gradiente é:

Passo 5

Vamos avaliar o gradiente no ponto nabla f(1, 2) = (2 cdot 1, -6 cdot 2) = (2, -12) :

Passo 6

Por fim, a derivada direcional é o ponto em que o gradiente é “projetado” na direção do vetor unitário partial fpartial u(1, 2) = nabla f(1, 2) cdot u = (2, -12) cdot ( 2raiz5, 1raiz5 ) . Isso é feito calculando o produto escalar entre o gradiente e = 2 cdot 2raiz5 + (-12) cdot 1raiz5 = 4raiz5 - 12raiz5 = -8raiz5 :
= -8raiz55
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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