Calcule a integral definida integral-2^2(3+raiz4-x^2) d x interpretando como a área sob o gráfico da função.

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral-2^2(3+raiz4-x^2) dx. Esse exercício está relacionado ao cálculo de áreas sob o gráfico de uma função usando integrais definidas. Para resolver, vamos precisar entender como separar a integral em partes mais simples e conhecer algumas propriedades geométricas de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes distintas. A soma dentro da integral pode ser distribuída em duas integrais separadas:
integral-2^2(3+raiz4-x^2) dx = integral-2^2 3 , dx + integral-2^2 raiz4 - x^2 , dx

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: integral-2^2 3 , dx. A integral de uma constante é simplesmente a constante multiplicada pelo intervalo de integração.
Assim:
integral-2^2 3 , dx = 3 times (2 - (-2)) = 3 times 4 = 12

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral-2^2 raiz4 - x^2 , dx. Essa função raiz4 - x^2 representa a parte superior de um círculo com raio 2 centrado na origem.
A área de um círculo completo é dada por pi r^2. Como estamos considerando apenas a parte superior do círculo (um semicírculo), a área é metade disso:
12 pi (2)^2 = 2pi

Resposta

Somando as duas áreas calculadas, temos:
12 + 2pi

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