Determine as antiderivadas das funções abaixo: f(x) = 1 / (1 + 4 x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as antiderivadas da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com antiderivadas. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição trigonométrica que envolve a função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, observe que a função que queremos integrar é . Isso se assemelha à forma padrão da integral de , cuja antiderivada é , onde é a constante de integração.

Passo 3

Para fazer a substituição, vamos definir . Assim, precisamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:

Passo 5

Fatoramos a constante para fora da integral:
Sabemos que , então:

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta na expressão:

Resposta

As antiderivadas de são dadas por:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados