Determine as antiderivadas das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as antiderivadas da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com antiderivadas. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição trigonométrica que envolve a função arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, observe que a função que queremos integrar é
. Isso se assemelha à forma padrão da integral de
, cuja antiderivada é
, onde
é a constante de integração.
Passo 3
Para fazer a substituição, vamos definir
. Assim, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Fatoramos a constante
para fora da integral:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
As antiderivadas de
são dadas por:
onde
é a constante de integração.